포털:고등학교/수학/수학 I/케일리-해밀턴의 정리

이 개념과 관련한 다른 개념이나 참고할 개념이 있습니다. 행렬 단위행렬 행렬의 곱셈 역행렬

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고등학교 교육과정에서 케일리-해밀턴(Cayley-Hamiltion)의 정리란, 다음과 같은 2차 정사각행렬들에 대해,

${A}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\;{E}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\;{O}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

다음과 같은 식이 성립한다는 것입니다.

${A}^{2}-{(}{a}+{d}{)}{A}+{(}{ad}-{bc}{)}{E}={O}$

케일리-해밀턴 정리에서 주의할 점

케일리-해밀턴의 정리에서 역은 성립하지 않습니다. ${A}={kE}$를 만족하는 행렬의 경우를 생각해 봅니다.

가령, ${A}={3}{E}$라고 가정하면, 다음을 만족합니다.

${A}^{2}-{4}{A}+{3}{E}={O}$

그러나 식에서 케일리-해밀턴의 정리를 이용하면 ${a}+{d}={6}\mathrm {\neq } {4}{,}\;{ad}-{bc}={9}\neq {3}$입니다.

그러므로, 케일리-해밀턴의 정리의 역은 성립하지 않는 것입니다.