사면 안정론

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용어 정의

• 무한 사면 : 활동파괴면 깊이가 사면길이에 비해 얕은 사면
• 유한 사면 : 활동파괴 깊이가 높이에 비해 깊은 사면

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• 단순사면 : 층 없이 하나의 사면으로 된 것
• 복합사면 : 층 져 있는 사면.

파괴 유형

• 무한 사면 파괴 : 병진활동
• 유한 사면 파괴 : 원형, 비원형, 복합 파괴.

안전율

$F_{s}={\frac {\text{저 항 력 }}{\text{활 동 력 }}}={\frac {\tau _{f}}{\tau _{n}}}$

$F_{s}>1$ : 안정(기관마다, 상황마다 안전율 요구치가 다름. 보통 1.3)

$F_{s}\leq 1$ : 불안정.

유발 전단강도

mobilized shear strength. 전단저항이 유발되는 응력.

$\tau _{m}=\tau _{n}$

한계평형상태 고려하는 방법

1. 힘의 평형조건 이용 : 파괴가능면이 평면
2. 모멘트 평형조건 이용 : 파괴가능면이 원형

무한사면에서의 안전율 공식

암기. 이 식에서 경우에 따라 파생되어 나감.

${\begin{aligned}F_{s}&={\frac {c'+(\sigma _{n}-u)\tan \phi '}{\tau _{n}}}\\&={\frac {c'+\left[{\frac {W}{b}}\cos ^{2}\beta -\gamma _{w}h_{w}\right]\tan \phi '}{{\frac {W}{b}}\sin \beta \cos \beta }}\\&={\frac {c'+[\gamma z\cos ^{2}\beta -u]\tan \phi '}{\gamma z\sin \beta \cos \beta }}\end{aligned}}$

이 식이 어떻게 유도되었는가? 아래 식을 대입한 것임.(까먹을 때를 대비해 암기)

$\sigma _{n}={\frac {W}{b}}\cos ^{2}\beta ={\frac {\gamma bz}{b}}\cos ^{2}\beta =\gamma z\cos ^{2}\beta$

$\tau _{n}={\frac {W}{b}}\sin \beta \cos \beta ={\frac {\gamma bz}{b}}\sin \beta \cos \beta =\gamma z\sin \beta \cos \beta$

지하수가 전혀 없는 경우

u=0 대입.

$F_{s}={\frac {c'+\gamma z\cos ^{2}\beta \tan \phi '}{\gamma z\sin \beta \cos \beta }}$

모래지반인 경우는 c' = 0이므로

$F_{s}={\frac {\tan \phi '}{\tan \beta }}$

모래지반 사면경사각 $\beta >\phi '$이면 $F_{s}\leq 1$이 되어 불안정.

지하수가 경사면에 평행하게 흐를 때

$\gamma =\gamma _{sat}$로 볼 때,

모래지반, 지하수위가 지표면까지 찼다면(암기)

• c' = 0
• $u=\gamma _{w}z\cos ^{2}\beta$

이므로

${\begin{aligned}F_{s}&=\left(1-{\frac {\gamma _{w}}{\gamma _{sat}}}\right){\frac {\tan \phi '}{\tan \beta }}\\&=\left({\frac {\gamma _{sat}-\gamma _{w}}{\gamma _{sat}}}\right){\frac {\tan \phi '}{\tan \beta }}\\&={\frac {\gamma '}{\gamma _{sat}}}{\frac {\tan \phi '}{\tan \beta }}\end{aligned}}$

건조 시에 비해 전단응력은 비슷. 전단강도는 수압 상승으로 인해 감소.

수중 무한사면인 경우

헷갈림

$F_{s}={\frac {c'+\gamma 'z\cos ^{2}\beta \tan \phi '}{\gamma 'z\sin \beta \cos \beta }}$

모래지반이라면

$F_{s}={\frac {\tan \phi '}{\tan \beta }}$

유한사면의 안정론

• 유한사면 해석은 컴퓨터의 발달로 거의 모든 파괴 양상에 대해 한계평형상태 해석법으로 안전율 도출이 가능.
• 학부에서는 원형파괴만 개념적으로 보자.

해석 방법 종류

1. 사면 전체에 대한 해석법(Mass procedure) : 사면 전체를 하나의 물체(body)로 보고 해석. 컴퓨터 발달 이전의 방법
   1. Φ_u = 0 해석법 : 점토 지반에 사용. 비배수 조건.
   2. 마찰원법
2. 절편법(Method of Slices) : 컴퓨터 발달로 인해 실무에서 많이 쓰임. 절편 양단의 절편력을 어떻게 가정하느냐에 따라 종류가 나뉨.

Φ_u = 0 해석법

Φ_u = 0인 균질 비배수 점토 사면에 적용 가능.

이거 계속 틀리네. ♣♣♣

$F_{s}={\frac {M_{r}}{M_{d}}}={\color {red}{\frac {c_{u}\cdot L_{a}\cdot R}{W\cdot d}}}$ (자꾸 분모 분자 거꾸로 해서 푼다!!! 조심!!!)

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$\tau _{m}=c_{um}={\frac {c_{u}}{F_{s}}}$

c_um : 유발 비배수전단강도

안정수에 의한 설계법

안정수(stability number) 암기

$N_{s}={\frac {c_{um}}{\gamma H}}$

안정계수는 안정수의 역수이다!!

F_s = 1인 경우, c_u = c_um이므로

$N_{s}={\frac {c_{u}}{\gamma H_{cr}}}$

H_cr : 한계사면 높이.(안전율이 1일 때 사면높이)

마찰원법

성질 정도 알면 됨.

점착력, 내부마찰력을 동시에 가진 사면에 대한 검토. 과거엔 컴퓨터가 없었기 때문에 사면안정 검토 시 표나 그래프를 이용해서 계산하는 방법이 쓰였다.

내부마찰력이 있으면 수직응력을 알아야 전단강도를 알 수 있는데, 수직응력 분포를 알기 쉽지 않음. 정확한 수직응력은 유한요소해석(finite element method)을 해야 알 수 있다.

점착성분을 제외한 마찰성분에 의한 저항력은 수직력에 대해 Φ_m의 각도를 이룬다. 이것을 연장하면 마찰원에 접함.

마찰성분에 의한 안전율 = 점착성분에 의한 안전율 = 안전율이 되어야 한다.

$F_{\phi }=F_{c}=F_{s}$

$F_{\phi }={\frac {\tan \phi }{\tan \phi _{m}}}$

$F_{c}={\frac {c}{c_{m}}}$

안정수에 의한 설계법

$N_{s}={\frac {{c_{m}}'}{\gamma H}}$

절편법

종류

• 일반적인 절편법(general method of slices) : 요지, 흐름만 알아둘 것.
• Fellenius method : 원형파괴단면, 모멘트 평형만 고려. 절편력 합력이 절편 바닥에 평행하게 작용한다고 가정(사실상 절편력 영향 고려하지 않는 것임). 쉽지만 오차가 커서 실무에 거의 쓰이지 않음.
• Bishop의 간편법 : 원형파괴단면, 모멘트평형만 고려. 간편하면서도 정밀법과 가까운 안전율을 계산할 수 있어 실무에 많이 쓰임. 절편력 합력 방향은 수평이라 가정. 반복법으로 풀어야 함. 안전율 가정 후 안전율 계산해서 비교, 같아질 때까지 반복.
• Janbu의 간편법 : 힘의 평형만 고려

일반적인 절편법

모멘트 평형조건을 이용해 안전율(F_m)을 구하거나, 힘의 평형을 이용해 안전율(F_f)을 구한다. 절편력 가정한 뒤, F_m = F_f가 될 때까지 반복계산.

토목기사 암기

원형단면일 때 안전율(다른 거랑 헷갈리네)

일반절편법은 분자에 Ncos α가 아니라 그냥 N임!!!

$F_{s(m)}={\frac {\sum \{c'l+({\color {red}N}-ul)\tan \phi '\}}{\sum {\color {red}W}\sin \alpha }}$

$F_{s(f)}={\frac {\sum \{c'l+({\color {red}N}-ul)\tan \phi '\}{\color {red}\cos \alpha }}{\sum {\color {red}N}\sin \alpha }}$

Fellenius method

Fellenius, Bishop은 예제는 풀게 했는데... 식까지 암기해야하나 잘 모르겠음. 암기가 된다면 하면 좋을 것 같다. 혹시 모르니까. 외우라곤 안 했는데...

Slice	W(t)	W sin α (t)	W cos α (t)	u (t/m2)	l (m)	U = ul (t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
계	X	O	O	X	O	O

l : 절편 밑면 길이

$F_{s(m)}={\frac {\sum [c'l+(W\cos \alpha -U)\tan \phi ']}{\sum W\sin \alpha }}$

Bishop의 간편법

Slice	c'b (t)	ub (t)	W - ub (t)	...	...	...
1
2
3
4
5
6
7
8
9
계

$F_{s(m)}={\frac {\sum [c'b+(W-ub)\tan \phi ']/m_{\alpha }}{\sum W\sin \alpha }}$

$m_{\alpha }=\cos \alpha \left(1+\tan \alpha {\frac {\tan \phi '}{F_{s}}}\right)$

F_s 가정 후, F_s(m) 구하고, F_s, F_s(m) 비교하고,

다르면 새 F_s 가정 후, F_s(m) 구하고, F_s, F_s(m) 비교하고,

같아진다면 그때의 F_s가 안전율!

사면안정 해석법의 응용

해석법의 분류

• 전응력 해석법
• 유효응력 해석법

평형조건 고려방법에 따른 분류

• 전중량 + 경계면 수압 + 경계면 유효응력 고려
• 유효중량 + 침투수력 + 경계면 유효응력 고려

응용 케이스

• 정상침투 시 사면안정 해석법
• 부분 수중상태 사면에 대한 해석
• 포화된 점토 위에 제방 성토하는 경우 안정
• 포화 점토지반을 절취할 때의 안정
• 흙댐의 안정성 검토

정상침투 시 사면안정 해석법

Fellenius 방법을 쓴다고 할 때, 바닥면 수압 U = ul [kN/m]는 직접 구해줘야 함. $u=\gamma _{w}h_{p}$로 유선망을 보고 h_p(연직방향깊이)를 직접 대입해서 구해야 된다.

포화된 점토 위에 제방 성토하는 경우 안정

• 제방 축조 직후 가장 위험.
• 제방 높이가 높아질수록 전단응력이 증가.
• 과잉간극수압이 발생하여 전단강도는 감소($\tau _{f}=c'+(\sigma _{n}-u)\tan \phi '$에서 u 증가.)

제방 축조 직후의 사면안정 해석법

• $\phi _{u}=0$ 해석법 : 전응력 해석법. 전단강도는 비배수 전단강도 c_u 사용. 가장 많이 쓰임.
• 유효응력 해석법
  • 유효응력으로 표시된 전단강도 $\tau _{f}=c'+(\sigma _{n}-u)\tan \phi '$ 사용.
  • Skempton의 공식으로 과잉간극수압 Δu를 예측. 현장 시공 시 점토지반에 피에조미터 설치를 통해 계측. 예측치와 계측치 비교해서 계속해서 사면안정계산을 수정해 나감.

포화 점토지반을 절취할 때의 안정

• 절취때문에 $\Delta \sigma _{3},\Delta \sigma _{1}$이 감소. < 0이 됨.
• $\Delta u=B[\Delta \sigma _{3}+A(\Delta \sigma _{1}-\Delta \sigma _{3})]<0$
• 전단강도 $\tau _{f}=c'+(\sigma _{n}-u)\tan \phi '$ 증가. 절취직후는 위험하지 않다.
• 시간이 오래 지나면 감소했던 간극수압이 정수압 조건으로 돌아감. 이때 점토입자는 물을 흡수해야하며, 흙입자가 팽창하게 됨. 따라서 시간이 오래 지났을 때가 위험하다.

장기간 안정 검토 방법

• 유효응력 해석법
• $\phi _{u}=0$ 해석법

흙댐의 안정성 검토

• 시공 직후, 정상 침투 시 : 하류가 위험
• 시공 직후, 수위 급강하 시 : 상류가 위험.