포털:고등학교/수학/수학 II/4배각의 공식의 증명

이 개념과 관련한 다른 개념이나 참고할 개념이 있습니다. 3배각의 공식 4배각의 공식 삼각함수의 덧셈정리

자료 정보
교육 수준: 이 자료는 고등학교 강의 수준의 자료입니다.
자료 형식: 이 자료는 문서형식의 자료입니다.
과목 정보: 이 자료는 수학 과목의 자료입니다.

삼각함수의 4배각의 공식을 증명합니다. 이를 잘 이해하기 위해서, 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 참고해 주세요.

필요한 공식들

• 삼각함수의 덧셈정리

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

• 2배각의 공식

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta$

$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

4배각의 공식 증명

일단 ${4}{\mathit {\theta }}$를 ${2}{\mathit {\theta }}\mathrm {+} {2}{\mathit {\theta }}$로 나눠 대입합니다. 그러면

${\begin{array}{llll}{\sin {4}{\mathit {\theta }}}&{\mathrm {=} }&{\sin {\mathrm {(} }{2}{\mathit {\theta }}\mathrm {+} {2}{\mathit {\theta }}{\mathrm {)} }}&{}\\{}&{\mathrm {=} }&{\sin {2}{\mathit {\theta }}\cos {2}{\mathit {\theta }}\mathrm {+} \cos {2}{\mathit {\theta }}\sin {2}{\mathit {\theta }}}&{}\\{}&{\mathrm {=} }&{{2}\sin {\mathit {\theta }}\cos {\mathit {\theta }}{\mathrm {(} }{1}\mathrm {-} {2}{\sin }^{2}{\mathit {\theta }}{\mathrm {)} }\mathrm {+} {\mathrm {(} }{1}\mathrm {-} {2}{\sin }^{2}{\mathit {\theta }}{\mathrm {)} }{2}\sin {\mathit {\theta }}\cos {\mathit {\theta }}}&{}\\{}&{\mathrm {=} }&{{4}\sin {\mathit {\theta }}\cos {\mathit {\theta }}\mathrm {-} {8}{\sin }^{3}{\mathit {\theta }}\cos {\mathit {\theta }}}&{}\end{array}}$

코사인, 탄젠트 함수도 이와 마찬가지로 정리하면 됩니다. 코사인과 탄젠트는 따로 다루지 않겠습니다.

결론

${\begin{aligned}&{\sin {4}{\mathit {\theta }}\mathrm {=} {4}\sin {\mathit {\theta }}\cos {\mathit {\theta }}\mathrm {-} {8}{\sin }^{3}{\mathit {\theta }}\cos {\mathit {\theta }}}\\&{\cos {4}{\mathit {\theta }}\mathrm {=} {8}{\cos }^{4}{\mathit {\theta }}\mathrm {-} {8}{\cos }^{2}{\mathit {\theta }}\mathrm {+} {1}}\\&{\tan {4}{\mathit {\theta }}\mathrm {=} {\frac {{4}\tan {\mathit {\theta }}\mathrm {-} {4}{\tan }^{3}{\mathit {\theta }}}{{1}\mathrm {-} {6}{\tan }^{2}{\mathit {\theta }}\mathrm {+} {\tan }^{4}{\mathit {\theta }}}}}\end{aligned}}$