포털:고등학교/수학/수학 II/3배각의 공식의 증명

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삼각함수의 3배각의 공식을 증명합니다. 이를 잘 이해하기 위해서, 먼저 삼각함수의 덧셈정리를 참고해 주세요.

필요한 공식들

삼각함수의 덧셈정리

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

2배각의 공식

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta$

$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

3배각의 공식 증명

일단 $3\theta$ 를 ${\mathit {\theta }}\mathrm {+} {2}{\mathit {\theta }}$ 로 나눠 대입합니다. 그러면

${\begin{aligned}\sin 3\theta &=\sin(\theta +2\theta )\\&=\sin \theta \cos 2\theta +\cos \theta \sin 2\theta \\&{\mathrm {=} \sin {\mathit {\theta }}{\mathrm {(} }{1}\mathrm {-} {2}{\sin }^{2}{\mathit {\theta }}{\mathrm {)} }\mathrm {+} \cos {\mathit {\theta }}{\mathrm {(} }{2}\sin {\mathit {\theta }}\cos {\mathit {\theta }}{\mathrm {)} }}\\&{\mathrm {=} \sin {\mathit {\theta }}\mathrm {-} {2}{\sin }^{3}{\mathit {\theta }}\mathrm {+} {2}\sin {\mathit {\theta }}{\cos }^{2}{\mathit {\theta }}}\\&{\mathrm {=} \sin {\mathit {\theta }}\mathrm {-} {2}{\sin }^{3}{\mathit {\theta }}\mathrm {+} {2}\sin {\mathit {\theta }}{\mathrm {(} }{1}\mathrm {-} {\sin }^{2}{\mathit {\theta }}{\mathrm {)} }\mathrm {=} 3\sin {\mathit {\theta }}\mathrm {-} {4}{\sin }^{3}{\mathit {\theta }}}\end{aligned}}$

코사인, 탄젠트 함수도 이와 마찬가지로 정리하면 됩니다. 코사인과 탄젠트는 따로 다루지 않겠습니다.

결론

$\sin {3}{\mathit {\theta }}\mathrm {=} {3}\sin {\mathit {\theta }}\mathrm {-} {4}{\sin }^{3}{\mathit {\theta }}$

$\cos {3}{\mathit {\theta }}\mathrm {=} {4}{\cos }^{3}{\mathit {\theta }}\mathrm {-} {3}\cos {\mathit {\theta }}$

$\tan {3}{\mathit {\theta }}\mathrm {=} {\frac {{3}\tan {\mathit {\theta }}\mathrm {-} {\tan }^{3}{\mathit {\theta }}}{{1}\mathrm {-} {3}{\tan }^{2}{\mathit {\theta }}}}$