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1
일반적인 적분공식
일반적인 적분공식 하위섹션 토글하기
1.1
치환적분법
1.2
부분적분법
2
유리함수의 적분
3
삼각함수의 적분
삼각함수의 적분 하위섹션 토글하기
3.1
증명
4
지수함수의 적분
5
로그함수의 적분
로그함수의 적분 하위섹션 토글하기
5.1
증명
목차 토글
포털
:
고등학교/수학/적분과 통계/부정적분 공식
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포털:고등학교
|
수학
|
적분과 통계
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기본적인 미분 공식
위키백과
위키백과
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적분표
자료 정보
교육 수준
: 이 자료는
고등학교
강의 수준의 자료입니다.
자료 형식
: 이 자료는
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과목 정보
: 이 자료는
수학
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일반적인 적분공식
[
편집
]
∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x
(
a
constant)
{\displaystyle \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\qquad {\mbox{(}}a{\mbox{ constant)}}\,\!}
∫
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
d
x
=
∫
f
(
x
)
d
x
+
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}
∫
f
′
(
x
)
f
(
x
)
d
x
=
ln
|
f
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle \int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C}
치환적분법
[
편집
]
부분적분법
[
편집
]
유리함수의 적분
[
편집
]
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
+
C
if
n
≠
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1}
∫
x
−
1
d
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int x^{-1}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C}
삼각함수의 적분
[
편집
]
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
+
C
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
+
C
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}
∫
sin
2
m
x
d
x
=
1
2
m
(
m
x
−
sin
m
x
cos
m
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx-\sin mx\cos mx)}+C}
∫
cos
2
m
x
d
x
=
1
2
m
(
m
x
+
sin
m
x
cos
m
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx+\sin mx\cos mx)}+C}
증명
[
편집
]
아래 공식의 증명이 필요합니다.
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}
∫
csc
x
d
x
=
ln
|
csc
x
−
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C}
∫
sec
x
d
x
=
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C}
∫
cot
x
d
x
=
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}
∫
sin
2
m
x
d
x
=
1
2
m
(
m
x
−
sin
m
x
cos
m
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx-\sin mx\cos mx)}+C}
∫
cos
2
m
x
d
x
=
1
2
m
(
m
x
+
sin
m
x
cos
m
x
)
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx+\sin mx\cos mx)}+C}
지수함수의 적분
[
편집
]
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
로그함수의 적분
[
편집
]
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C}
∫
log
a
x
d
x
=
x
log
a
x
−
x
ln
a
+
C
{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C}
증명
[
편집
]
부분적분법을 이용합니다.
∫
ln
x
d
x
=
x
ln
x
−
∫
x
⋅
1
x
d
x
=
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln {x}\,dx=x\ln x-\int x\cdot {\frac {1}{x}}\,dx=x\ln {x}-x+C}
분류
:
수학