포털:고등학교/수학/수학 II/기본적인 미분 공식

위키백과

위키백과에 이 자료나 강의와 관련된 문서가 있습니다.

미분표

자료 정보

교육 수준: 이 자료는 고등학교 강의 수준의 자료입니다.

자료 형식: 이 자료는 문서형식의 자료입니다.

과목 정보: 이 자료는 수학 과목의 자료입니다.

다음은 기본적인 미분법입니다.

기본적인 미분법

$(k)'=\lim _{h\to 0}{\frac {k-k}{h}}=0$
$(cf(x))'=\lim _{h\to 0}{\frac {cf(x+h)-cf(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}c\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=cf'(x)$
$(f(x)+g(x))'=\lim _{h\to 0}{\frac {(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}}=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)=f'(x)+g'(x)$

=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}

=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)(f(x+h)-f(x))+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}}

=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

연쇄법칙의 증명은 생략합니다.

연쇄법칙과 곱의 법칙을 이용합니다.

$\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}-f(x)\cdot {\frac {g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

$(x^{n})'=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h-x)((x+h)^{n-1}+x(x+h)^{n-2}+\cdots +x^{n-2}(x+h)+x^{n-1})}{h}}=nx^{n-1}$

$(\sin x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2\cos(x+{\frac {h}{2}})\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=\cos x$
$(\cos x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-2\sin(x+{\frac {h}{2}})\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=-\sin x$

$(e^{x})'=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x}(e^{h}-1)}{h}}=e^{x}$
$(a^{x})'=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}(a^{h}-1)}{h}}=a^{x}\cdot \ln a$

$(\ln x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+{\frac {h}{x}})}{{\frac {h}{x}}\cdot x}}={\frac {1}{x}}$
$(\log x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\log(x+h)-\log x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\log(1+{\frac {h}{x}})}{{\frac {h}{x}}\cdot x}}={\frac {1}{x\ln a}}$