포털:고등학교/수학/수학 II/기본적인 미분 공식

이 개념과 관련한 다른 개념이나 참고할 개념이 있습니다. 미분법 적분법 삼각함수의 극한 지수함수의 극한 로그함수의 극한

자료 정보
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과목 정보: 이 자료는 수학 과목의 자료입니다.

다음은 기본적인 미분법입니다.

기본적인 미분법

• 들어가기 전에... c는 상수이며, k는 상수함수인 것을 알아두기 바란다.

기본 성질

• $(k)'=0$

• $(cf(x))'=cf'(x)$

• $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

증명

• $(k)'=\lim _{h\to 0}{\frac {k-k}{h}}=0$
• $(cf(x))'=\lim _{h\to 0}{\frac {cf(x+h)-cf(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}c\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=cf'(x)$
• $(f(x)+g(x))'=\lim _{h\to 0}{\frac {(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}}=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)=f'(x)+g'(x)$

곱의 법칙

• $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

증명

• $(f(x)g(x))'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)(f(x+h)-f(x))+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}}$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

연쇄법칙

• $(f(g(x)))'=g'(x)f'(g(x))$

연쇄법칙의 증명은 생략합니다.

몫의 법칙

• $\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

증명

연쇄법칙과 곱의 법칙을 이용합니다.

• $\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}-f(x)\cdot {\frac {g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

여러 가지 함수의 미분법

다항함수의 미분

• $(x^{n})'=nx^{n-1}$ (단, n은 자연수)

증명

• $(x^{n})'=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h-x)((x+h)^{n-1}+x(x+h)^{n-2}+\cdots +x^{n-2}(x+h)+x^{n-1})}{h}}=nx^{n-1}$

삼각함수의 미분

• $(\sin x)'=\cos x$
• $(\cos x)'=-\sin x$

증명

• $(\sin x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2\cos(x+{\frac {h}{2}})\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=\cos x$
• $(\cos x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-2\sin(x+{\frac {h}{2}})\sin {\frac {h}{2}}}{h}}=-\sin x$

지수함수의 미분

• $(e^{x})'=e^{x}$
• $(a^{x})'=a^{x}\cdot \ln a$

증명

• $(e^{x})'=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x}(e^{h}-1)}{h}}=e^{x}$
• $(a^{x})'=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}(a^{h}-1)}{h}}=a^{x}\cdot \ln a$

로그함수의 미분

• $(\ln x)'={\frac {1}{x}}$
• $(\log x)'={\frac {1}{x\ln a}}$

증명

• $(\ln x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(1+{\frac {h}{x}})}{{\frac {h}{x}}\cdot x}}={\frac {1}{x}}$
• $(\log x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {\log(x+h)-\log x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\log(1+{\frac {h}{x}})}{{\frac {h}{x}}\cdot x}}={\frac {1}{x\ln a}}$