토압론

정지토압계수

암기

$K_{0}={\frac {\mu }{1-\mu }}$

μ : 포아송 비

경험식

사질토 및 정규압밀토에 대해 Jaky 공식(암기)

K_{0}=1-\sin \phi '

과압밀점토에 대해서는^[1](암기)

K_{0}=(1-\sin \phi '){\color {red}\times OCR}^{\sin \phi '}

토압이론의 종류

Rankine의 이론 : 작은 입자를 가지고 이론 전개. 벽면 마찰 무시.
Coulomb의 이론 : 흙 덩어리(흙쐐기, Wedge)를 가지고 이론 전개. 벽면 마찰 등 여러 요소 고려. Rankine의 이론을 포함하는 이론임.

Rankine의 이론

Rankine의 주동토압

오른쪽 그림으로부터 유도됨.

Rankine의 주동토압계수(coefficient of Rankine's active earth pressure)

K_{a}={\frac {1-sin\phi }{1+sin\phi }}=\tan ^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {\phi }{2}}\right)

주동토압♣♣♣

{\begin{aligned}\sigma _{a}&=K_{a}\sigma _{v}-{\color {red}2}c{\sqrt {K_{a}}}\\&=K_{a}\gamma z-{\color {red}2}c{\sqrt {K_{a}}}\\\end{aligned}}

토압분포도는 사실 - 부호의 점착력 항에 의한 직사각형 분포와, 흙 자체에 의한 삼각형 분포 토압(+)이 더해져서 생긴 것이다.

점성토 뒤채움일 때 많이 틀리니 연습할 것!!! 사질토에선 도형 나눠놓고 생각하는 게 좋았는데, 점성토에선 결국에 합쳐놓고 합력 구해야되는 것 같음...

만약 점성토 조건만 있는 벽체가 아니라 위에 등분포하중까지 있는 점성토 조건인 경우, 인장균열 깊이를 구할 때 등분포하중에 의한 영향도 포함시켜서 계산해야 한다!!!!

인장균열깊이

= 점착고(cohesion height)

σ_a = 0인 점

$z_{c}={\frac {2c}{\gamma {\sqrt {K_{a}}}}}$

점성토 뒤채움부에 인장균열이 발생하면 인장균열이 발생한 깊이까지는 더이상 인장력이 존재하지 않으므로 무시하고 그 깊이 이하의 토압분포만 고려한다. 토압분포도에서 위의 삼각형 부분 없다고 하고 계산하면 됨.

$P_{a}={\frac {1}{2}}(K_{a}\gamma H-2c{\sqrt {K_{a}}})\left(H-{\frac {2c}{\gamma {\sqrt {K_{a}}}}}\right)$

인장균열 발생 전의 전주동토압 작용점을 계산하려면 삼각형 분포의 주동토압에서 구한 전주동토압 및 작용점, 사각형 분포의 인장력에서 구한 합력 및 작용점, 둘을 합친 전주동토압을 가지고, 전주동토압 작용점을 미지수로 놓고 w:바리뇽의 정리를 이용하면 된다. 즉 아래처럼 계산하면 됨.^[2]

$P_{a}{\bar {z}}=P_{a1}z_{1}-P_{a2}z_{2}$

예제 - 인장균열 발생 시 주동토압 계산 - 등분포 하중 있을 때

오른쪽 그림처럼 마찰이 없는 옹벽이 있다. 인장균열이 발생한 뒤의 주동토압, 합력 작용점을 계산하시오.^[3]

H = 4m
q = 10kN/m²
γ = 15kN/m³
$\phi '=26^{\circ }$
c' = 8kN/m²

인장균열깊이부터 구한다.

${\begin{aligned}\sigma _{a}&=K_{a}q+K_{a}\gamma {\color {red}z}-2c{\sqrt {K_{a}}}\\&=0.39\times 10+0.39\times 15\times {\color {red}z}-2\times 8{\sqrt {0.39}}\\&=0\\\end{aligned}}$

z = 1.041m

인장균열깊이 이하의 토압분포만을 고려하여 토압 합력을 구한다. 그림에서 빗금 친 부분.

${\begin{aligned}P_{a}&={\frac {1}{2}}(K_{a}q+K_{a}\gamma {\color {red}H}-2c{\sqrt {K_{a}}})(H-z)\\&=25.607kN/m\\\end{aligned}}$

합력의 작용점은 분포도 나눠서 모멘트 합 구하는 게 아님!! 합쳐진 토압분포도에서 인장균열깊이 이하 토압의 무게중심 점! 즉,

${\frac {4-1.041}{3}}=0.986m$

한계고

2z_c

이 깊이까지 굴착하면 흙이 자립할 수 있다.

파괴면 각도

뒤채움 흙의 폭이 $H\cot \left(45^{\circ }+{\frac {\phi }{2}}\right)$ 만큼 존재해야 옹벽에 $\sigma _{a}=K_{a}\gamma z-2c{\sqrt {K_{a}}}$ 의 주동토압이 생김.
수평면과 파괴면의 각도는 $\theta =45^{\circ }{\color {red}+}{\frac {\phi }{2}}$ $\theta =45^{\circ }{\color {red}+}{\frac {\phi }{2}}$
- 토압계수랑 다르게 부호 +다!!! 주동토압일 때 뒤채움 흙의 파괴면을 생각해보면 알 수 있다.

Rankine의 수동토압

Rankine의 수동토압계수(coefficient of Rankine's passive earth pressure)

K_{p}={\frac {1+sin\phi }{1-sin\phi }}=\tan ^{2}\left(45^{\circ }+{\frac {\phi }{2}}\right)

수동토압

{\begin{aligned}\sigma _{p}&=K_{p}\sigma _{v}+2c{\sqrt {K_{p}}}\\&=K_{p}\gamma z+2c{\sqrt {K_{p}}}\\\end{aligned}}

파괴면 각도

수평면과 파괴면의 각도는 $\theta =45^{\circ }-{\frac {\phi }{2}}$ $\theta =45^{\circ }-{\frac {\phi }{2}}$
- 역시 뒤채움 흙의 파괴면을 생각해보라!!

토압계수 간 관계

$K_{a}\cdot K_{p}=1$

Rankine 응력경로

K₀선 기울기

\beta ={\frac {q}{p}}={\frac {1-K_{0}}{1+K_{0}}}

초기응력(정지토압 상태) : A점

p={\frac {(1+K_{0})\sigma _{v}}{2}},\quad q={\frac {(1-K_{0})\sigma _{v}}{2}}

주동토압 : C점

p={\frac {\sigma _{v}+\sigma _{a}}{2}}={\frac {(1+K_{a})\sigma _{v}}{2}},\quad q={\frac {\sigma _{v}+\sigma _{a}}{2}}={\frac {(1-K_{a})\sigma _{v}}{2}}

1사분면 K_f 선 기울기

\tan \alpha ={\frac {1-K_{a}}{1+K_{a}}}

수동토압 : B점

p={\frac {\sigma _{v}+\sigma _{p}}{2}}={\frac {(1+K_{p})\sigma _{v}}{2}},\quad q={\frac {\sigma _{v}-\sigma _{p}}{2}}={\frac {(1-K_{p})\sigma _{v}}{2}}

4사분면 K_f 선 기울기

-\tan \alpha ={\frac {1-K_{p}}{1+K_{p}}}

비포화 모래지반에서의 Rankine 토압

지표가 수평이고, i=0, c=0인 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.

주동토압

P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{a}\times H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{a}

수동토압

P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{p}\times H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{p}

작용점

y={\frac {H}{3}}

등분포 상재하중이 있을 때 Rankine 토압

지표가 수평이고, i=0, c=0이며 등분포 하중 q가 작용하는 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.

주동토압

P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{a}\times H+qK_{a}H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{a}+qK_{a}H

수동토압

P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{p}\times H+qK_{p}H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{p}+qK_{p}H

뒤채움이 여러 층인 경우 Rankine 토압

지하수위가 있을 때 Rankine 토압

지표면 경사가 있을 때 Rankine 토압

암기. 부호가 - 인 곳을 유심히 보고 외울 것. 앞에 제곱 없는 거 계속 제곱 있다고 잘못 외우네.

$K_{a}=\cos \beta {\frac {{\color {red}\cos \beta }-\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}{{\color {red}\cos \beta }+\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}}$

$K_{p}=\cos \beta {\frac {{\color {red}\cos \beta }+\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}{{\color {red}\cos \beta }-\left(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi \right)^{1/2}}}$