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적분 기호 속에 들어가는 x, y는 y, x축으로부터 미소요소의 도심까지 수직거리이다!
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L3. 축의 위치에 따라 양의 값을 가질수도, 음의 값을 가질수도 있다. 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트는 0
- ---- X축에 대한 모멘트
- ---- Y축에 대한 모멘트
- : 각각의 축에서부터 단면의 도심까지 거리
♣♣♣13-1, 15-3, 18-1 등등. 꼭 응용역학에서만 나오는 건 아니고 중요함!!
도심(centroid)이란 어떤 임의 단면에서 직교 좌표축에 대한 단면 1차 모멘트가 0이 되는 점.
도형 |
그림 |
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삼각형
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사다리꼴
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사분원
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반원
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이외 도형의 도심 표 : 영어 위키백과의 도심 목록
예제 1
토목기사 기출 92, 18-3 학교 시험에도 잘 나오는 기본 내용.
오른쪽 그림에서 가로방향 중심을 지나는 축을 X라 할 때, X축이하 단면의, X축에 대한 단면일차모멘트 GX를 구하시오.
풀이
단면 일차 모멘트를 구하려면 부분부분 나눠서 계산해야 한다. 즉 X축으로부터 면적과 도심까지의 거리를 구하기 쉬운 도형들로 나눠서 구해야 한다.
각각의 치수는 왼쪽 그림에 mm단위로 나타나 있다. 값을 대입하여 GX를 계산한다.
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- Ix - x 축에 대한 단면 이차 모멘트
- Iy - y 축에 대한 단면 이차 모멘트
우측 그림에서 빗금친 부분의 x축에 대한 단면이차모멘트를 구하시오.
dA를 구할건데 가로로 잘라야 함. 모멘트를 생각해보자.
합성 단면의 단면 이차 모멘트는
로 주어진다.
단, 이 공식은 단면이 x 축에 대해 대칭일 경우에 적용하며, 그렇지 않은 경우에 xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.
은 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트이다.
♣♣♣13-1, 13-2, 18-1, 19-2
중립축과 평행한 임의의 축 x'에 대한 단면 이차 모멘트
- Ix' - x' 축에 대한 단면 이차 모멘트
- Ix - x' 축과 평행하고 단면의 도심을 지나는 축 x에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
- A - 단면의 넓이
- d - 축 사이의 거리
대표적인 도형에 대한 단면 이차 모멘트
[편집]
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I0는 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트, I는 도심을 지나는 축에 평행한 축에 대한 단면 이차 모멘트라고 하면,
설명 |
그림 |
단면 이차 모멘트 |
비고
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반지름 (지름 D)인 원 |
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너비 , 높이 인 직사각형 |
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너비 , 높이 인 직사각형 |
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단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 유도과정은 여기에
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밑변 , 높이 인 삼각형 |
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수리수문학 96
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밑변 , 높이 인 삼각형 |
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단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 ).
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- 정사각형 도심에 대한 단면이차모멘트는 축 방향에 관계없이 일정.(93, 97, 00, 19-1)
♣♣♣96, 99, 17-4, 18-1, 19-1
♣♣♣ 14-3, 18-1, 19-1 등등. 다른 과목과의 연계성도 있다.
단면계수(Section Modulus, S)는 도심축에 대한 단면 이차 모멘트를 단면의 가장 끝단에서 도심(centroid)까지의 거리로 나눈 값. 휨강성 비교에 쓰임.
Section modulus equations(실선 화살선 : 도심축)
Cross-sectional shape
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그림
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공식
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사각형
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원
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최대 단면계수를 갖기 위한 조건(18-3)
가장 왼쪽 그림처럼 세 변의 길이 비가 이어야 함.
♣♣♣12-3, 16-2, 18-1
polar moment of inertia. 극관성 2차 모멘트라고도 함. 좌표축 회전 관계없이 항상 일정.
= 관성적(product of inertia). +, -, 0 모두 가능(15-1, 16-4, 17-2)
비대칭 단면일 때(일반식) (19-2)
대칭 단면이지만 축이 단면 도심을 지나지 않을 때♣♣♣
대칭 단면이면서, 축이 단면 도심을 지날 때(17-4)
비대칭 삼각형의 경우(13-3, 19-2)
결론 식만 암기!
1. 95, 17-4, 19-3
오른쪽 그림에 대해 단면 상승 모멘트를 구하시오.
풀이
1. 92
- 단면 주축은 단면 도심 지남
- 단면 주축은 직교
- 단면 주축 단면 상승 모멘트는 0
- 단면 주축 단면 2차 모멘트는 최대 또는 최소.
- 두 주축에 대한 단면 2차 모멘트 합의 크기는 일정.
- 곡선을 회전시켜서 나오는 표면적은 회전각×축에서 곡선 중심까지 거리×곡선의 길이 (86)
- 단면을 회전시켜서 나오는 체적은 회전각×축에서 도심까지 거리×단면적 (78)