토목기사 요약/응용역학/단면의 성질

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♣♣♣

적분 기호 속에 들어가는 x, y는 y, x축으로부터 미소요소의 도심까지 수직거리이다!

단면 일차 모멘트[편집]

♣♣♣

L3. 축의 위치에 따라 양의 값을 가질수도, 음의 값을 가질수도 있다. 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트는 0

정의[편집]

Moment of area of an arbitrary shape.svg
  •  : 각각의 축에서부터 단면의 도심까지 거리

도심[편집]

♣♣♣13-1, 15-3, 18-1 등등. 꼭 응용역학에서만 나오는 건 아니고 중요함!!

도심(centroid)이란 어떤 임의 단면에서 직교 좌표축에 대한 단면 1차 모멘트가 0이 되는 점.

대표적인 도형의 도심[편집]

도형 그림
삼각형
Centroid of a triangle.svg
사다리꼴
식을 외우기 싫다면 두 개의 삼각형으로 나눠서 도심을 계산하면 된다.
사분원
Centroid of a quarter circle.svg
반원
Centroid of a semicircle.svg

이외 도형의 도심 표 : 영어 위키백과의 도심 목록

예제 1 토목기사 기출 92, 18-3 학교 시험에도 잘 나오는 기본 내용.

단면일차모멘트 예제1.png

오른쪽 그림에서 가로방향 중심을 지나는 축을 X라 할 때, X축이하 단면의, X축에 대한 단면일차모멘트 GX를 구하시오.

풀이

단면 일차 모멘트를 구하려면 부분부분 나눠서 계산해야 한다. 즉 X축으로부터 면적과 도심까지의 거리를 구하기 쉬운 도형들로 나눠서 구해야 한다.

단면일차모멘트 예제1-1.png

각각의 치수는 왼쪽 그림에 mm단위로 나타나 있다. 값을 대입하여 GX를 계산한다.

단면 이차 모멘트[편집]

♣♣♣

정의[편집]

Moment of area of an arbitrary shape.svg
  • Ix - x 축에 대한 단면 이차 모멘트
  • Iy - y 축에 대한 단면 이차 모멘트

  • 차원: L4

16-1 기출[편집]

Second moment of area(parabola1).png

우측 그림에서 빗금친 부분의 x축에 대한 단면이차모멘트를 구하시오.


dA를 구할건데 가로로 잘라야 함. 모멘트를 생각해보자.

Second moment of area(parabola2).png


합성 단면의 단면 이차 모멘트[편집]

합성 단면의 단면 이차 모멘트는

로 주어진다. 단, 이 공식은 단면이 x 축에 대해 대칭일 경우에 적용하며, 그렇지 않은 경우에 xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

  • A - 해당 부분의 단면적

은 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트이다.

평행축 정리[편집]

Parallel axis theorem.svg

♣♣♣13-1, 13-2, 18-1, 19-2

중립축과 평행한 임의의 축 x'에 대한 단면 이차 모멘트

  • Ix' - x' 축에 대한 단면 이차 모멘트
  • Ix - x' 축과 평행하고 단면의 도심을 지나는 축 x에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
  • A - 단면의 넓이
  • d - 축 사이의 거리

대표적인 도형에 대한 단면 이차 모멘트[편집]

♣♣♣

I0는 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트, I는 도심을 지나는 축에 평행한 축에 대한 단면 이차 모멘트라고 하면,

설명 그림 단면 이차 모멘트 비고
반지름 (지름 D)인 원 Area moment of inertia of a circle.svg
너비 , 높이 인 직사각형 Area moment of inertia of a rectangle.svg
너비 , 높이 인 직사각형 Area moment of inertia of a rectangle 2.svg 단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 유도과정은 여기에
밑변 , 높이 인 삼각형 Area moment of inertia of a triangle.svg 수리수문학 96
밑변 , 높이 인 삼각형 Area moment of inertia of a triangle 2.svg 단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 ).
  • 정사각형 도심에 대한 단면이차모멘트는 축 방향에 관계없이 일정.(93, 97, 00, 19-1)

단면 2차 반경[편집]

♣♣♣96, 99, 17-4, 18-1, 19-1

단면계수[편집]

♣♣♣ 14-3, 18-1, 19-1 등등. 다른 과목과의 연계성도 있다.

단면계수(Section Modulus, S)는 도심축에 대한 단면 이차 모멘트를 단면의 가장 끝단에서 도심(centroid)까지의 거리로 나눈 값. 휨강성 비교에 쓰임.

Section modulus equations(실선 화살선 : 도심축)
Cross-sectional shape 그림 공식
사각형 Area moment of inertia of a rectangle.svg
Area moment of inertia of a circle.svg

최대 단면계수를 갖기 위한 조건(18-3)

Cercle circonscrit à un triangle.svg

가장 왼쪽 그림처럼 세 변의 길이 비가 이어야 함.

단면 2차 극모멘트[편집]

♣♣♣12-3, 16-2, 18-1

polar moment of inertia. 극관성 2차 모멘트라고도 함. 좌표축 회전 관계없이 항상 일정.

MQdéfinition.jpg

단면 상승 모멘트[편집]

= 관성적(product of inertia). +, -, 0 모두 가능(15-1, 16-4, 17-2)

비대칭 단면일 때(일반식) (19-2)

대칭 단면이지만 축이 단면 도심을 지나지 않을 때♣♣♣

대칭 단면이면서, 축이 단면 도심을 지날 때(17-4)

축이 단면 도심을 지나면 단면상승모멘트 Ixy = 0

비대칭 삼각형의 경우(13-3, 19-2)

Moment of area of a triangle through the base.svg
Product of inertia triangle.png

결론 식만 암기!


단면상승모멘트1.png

1. 95, 17-4, 19-3

오른쪽 그림에 대해 단면 상승 모멘트를 구하시오.


풀이

주축과 주단면 2차 모멘트[편집]

1. 92

  • 단면 주축은 단면 도심 지남
  • 단면 주축은 직교
  • 단면 주축 단면 상승 모멘트는 0
  • 단면 주축 단면 2차 모멘트는 최대 또는 최소.
  • 두 주축에 대한 단면 2차 모멘트 합의 크기는 일정.

파포스 정리[편집]

Pappus centroid theorem areas.gif

  • 곡선을 회전시켜서 나오는 표면적은 회전각×축에서 곡선 중심까지 거리×곡선의 길이 (86)
  • 단면을 회전시켜서 나오는 체적은 회전각×축에서 도심까지 거리×단면적 (78)
정리를 통해 구한 도심은 이미 알고 있듯이 4r/3π

참고 자료[편집]