부정정 구조물 장단점 [ 편집 ] 장점
연속성 때문에 처짐 크기 작아짐.(15-3 / 철콘 14-1) 단점
해석 방법 [ 편집 ] 13-3
응력법(force method, 유연도법(flexibility method), 적합법) : 반력이나 내력을 미지수로 두고 풀이.
변위법(강성도법, stiffness method) : 처짐각과 같은 변위를 미지수로 두고 풀이.
참고 자료
전찬기 외 (2015). 《토목기사 필기 응용역학》. 성안당. Jack C. McCormac. 《구조해석》 4판. 동화기술. 322쪽. 변위 일치법 [ 편집 ] ♣♣♣ 14-3
원 구조물에서 여분의 지점 반력이나 응력을 부정정력(과잉력)으로 간주 하여 그것을 제거 하고 정정 구조물인 기본구조 (primary structure, 또는 이완구조(released structure))로 변환시킨 뒤, 처짐이나 처짐각을 이용해 부정정력 계산.
적합방정식을 통해 푼 반력값이 -라는 것은 단위하중에 반대되는 방향 이라는 의미.
07-2, 10-3, 13-3, 14-1, 14-2
X = VB 로 부정정력을 선택, 기본구조를 그리면
적합조건식은
Δ
B
+
V
B
Δ
b
b
=
0
{\displaystyle \Delta _{B}+V_{B}\Delta _{bb}=0}
∴
V
B
=
−
Δ
B
Δ
b
b
{\displaystyle \therefore V_{B}=-{\frac {\Delta _{B}}{\Delta _{bb}}}}
수정처짐각 방정식으로도 풀이 가능.
3연 모멘트법 [ 편집 ] 11-1, 16-1 계산문제
연속 구조물을 지간별로 분리, 내부 힘 모멘트를 부정정력으로 보고 푼다.
M
1
l
1
I
1
+
2
M
2
(
l
1
I
1
+
l
2
I
2
)
+
M
3
l
2
I
2
=
6
E
(
θ
21
−
θ
23
)
+
6
E
(
β
1
−
β
2
)
{\displaystyle M_{1}{\frac {l_{1}}{I_{1}}}+2M_{2}\left({\frac {l_{1}}{I_{1}}}+{\frac {l_{2}}{I_{2}}}\right)+M_{3}{\frac {l_{2}}{I_{2}}}=6E(\theta _{21}-\theta _{23}){\color {blue}+6E(\beta _{1}-\beta _{2})}}
파랑 부분은 지점 부등침하가 있는 경우에만 씀. 토목기사 시험에선 두 항 중 하나만 출제.
암기
♣♣♣ 17-2
R
A
=
R
C
=
3
8
w
l
{\displaystyle R_{A}=R_{C}={\frac {3}{8}}wl}
R
B
=
5
4
w
l
{\displaystyle R_{B}={\frac {5}{4}}wl}
최소일의 원리 [ 편집 ] 카스틸리아노의 제 2정리를 이용.[1]
변위일치법과 근본적으로 유사
트러스나 합성구조물 해석에 효과적
온도변화, 지점침하, 제작오차 등으로 인해 발생하는 응력 해석엔 사용불가 단점.
연속보나 골조 해석을 하려면 계산량이 많아 부적합. 오늘날에는 모멘트 분배법 또는 컴퓨터 해석방법을 사용. 14-1, 17-4
변위가 일어나지 않는 점(지점)에서는
∂
U
i
∂
P
j
=
δ
j
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial U_{i}}{\partial P_{j}}}=\delta _{j}=0}
θ
j
=
0
{\displaystyle \theta _{j}=0}
∂
U
i
∂
P
j
=
0
,
∂
U
i
∂
M
j
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial U_{i}}{\partial P_{j}}}=0,\quad {\frac {\partial U_{i}}{\partial M_{j}}}=0}
처짐각법 [ 편집 ] 절점에 모인 부재들은 강결로 가정.(13-3)
♣♣
순서
고정단모멘트(또는 하중항) 강비 계산
처짐각방정식
절점 평형 방정식
재단 모멘트 계산
지점 반력 계산 고정단 모멘트 [ 편집 ] 시계방향을 +로 함
처짐각 방정식 [ 편집 ] ♣♣ 15-2, 17-4
M
i
=
F
E
M
i
+
2
E
I
L
(
2
θ
i
+
θ
j
−
3
Δ
L
)
{\displaystyle M_{i}=FEM_{i}+{\frac {2EI}{L}}\left(2\theta _{i}+\theta _{j}-3{\frac {\Delta }{L}}\right)}
M
j
=
F
E
M
j
+
2
E
I
L
(
θ
i
+
2
θ
j
−
3
Δ
L
)
{\displaystyle M_{j}=FEM_{j}+{\frac {2EI}{L}}\left(\theta _{i}+2\theta _{j}-3{\frac {\Delta }{L}}\right)}
수정처짐각 방정식 15-3, 16-4
M
i
=
F
E
M
i
+
3
E
I
L
(
θ
i
−
Δ
L
)
{\displaystyle M_{i}=FEM_{i}+{\frac {{\color {red}3}EI}{L}}\left(\theta _{i}-{\color {red}{\frac {\Delta }{L}}}\right)}
M
j
=
0
{\displaystyle M_{j}=0}
주의 : 이 경우엔 j점이 힌지이기 때문에 Mj = 0임을 알기 때문에 최종적으로 힌지점에서 모멘트가 0인 구조를 조합해서 만들어주는 것이지만, 모멘트가 0이 아닌 힌지점에 대해 수정 처짐각 방정식을 쓰려 한다면 최종적으로 더해서 나오는 모멘트는 0으로 하면 안 된다! 그땐 기본 고정단 모멘트 형태에서 더해주는 고정단-힌지 구조의 힌지점 모멘트가, 최종적으로 더했을 때 나오는 힌지점 모멘트가 나오도록 값을 정해줘야 한다. 13-2 그냥 처짐각 구하는 데 처짐각 방정식 쓰는 문제
A점의 처짐각은? 휨강성은 EI
수정 처짐각 방정식 말고 일반 처짐각 방정식을 쓴다.
M
A
B
=
F
E
M
A
B
+
2
E
I
l
(
2
θ
A
+
θ
B
−
3
Δ
l
)
=
−
w
l
2
12
+
2
E
I
l
(
2
θ
A
+
0
+
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{AB}&=FEM_{AB}+{\frac {2EI}{l}}\left(2\theta _{A}+\theta _{B}-3{\frac {\Delta }{l}}\right)\\&=-{\frac {wl^{2}}{12}}+{\frac {2EI}{l}}\left(2\theta _{A}+0+0\right)\\\end{aligned}}}
∴
θ
A
=
w
l
3
48
E
I
{\displaystyle \therefore \theta _{A}={\frac {wl^{3}}{48EI}}}
87
BA 부재에 휨모멘트가 생기지 않으려면 P의 크기는 얼마여야 하는가?
M
B
A
=
2
E
I
60
×
2
θ
B
=
0
{\displaystyle M_{BA}={\frac {2EI}{60}}\times 2\theta _{B}=0}
M
B
C
=
−
900
+
2
E
I
60
×
2
θ
B
=
−
900
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{BC}&=-900+{\frac {2EI}{60}}\times 2\theta _{B}\\&=-900\\\end{aligned}}}
∑
M
B
=
0
{\displaystyle \sum M_{B}=0}
20
P
−
900
=
0
{\displaystyle 20P-900=0}
P
=
45
t
f
{\displaystyle P=45tf}
모멘트 분배법 [ 편집 ] ♣♣♣ 09-3, 15-3, 16-3, 17-4, 18-1, 19-1, 19-2 등등
강도계수(K), 분배율(DF), 전달율(C)
97, 16-2
A 지점이 그림처럼 작은 각 θ만큼 회전하면 생기는 MA , RA 를 구하시오.
M
A
=
4
E
I
l
θ
{\displaystyle M_{A}={\frac {4EI}{l}}\theta }
전달.
M
B
=
2
E
I
l
θ
{\displaystyle M_{B}={\frac {2EI}{l}}\theta }
∑
M
B
=
0
{\displaystyle \sum M_{B}=0}
R
A
×
L
=
4
E
I
L
θ
+
2
E
I
L
θ
{\displaystyle R_{A}\times L={\frac {4EI}{L}}\theta +{\frac {2EI}{L}}\theta }
R
A
=
6
E
I
L
2
θ
{\displaystyle R_{A}={\frac {6EI}{L^{2}}}\theta }
01, 16-2
그림에서 B점 연직반력? EI = 일정
내민 부분에 의해 생기는 모멘트는 고정단에 절반만큼 전달된다. AB를 놓고 A점에서 모멘트 평형 식을 쓰면 VB 를 계산 가능하다.
V
B
=
P
+
3
P
a
2
l
{\displaystyle V_{B}=P+{\frac {3Pa}{2l}}}
매트릭스 구조해석 [ 편집 ] 변위법, 강성도법 [ 편집 ] Stiffness method.
용수철을 생각했을 때 p의 힘을 주면 Δ의 변위가 생긴다고 하자. 이때 둘의 관계를 다음으로 나타낸다.
p
=
k
Δ
{\displaystyle p=k\Delta }
k : 단위변위를 발생시키기 위한 힘.(19-1) 강성도, 강성(stiffness)
=
E
A
L
{\displaystyle ={\frac {EA}{L}}}
EA : 축강성(Axial rigidity) 부정정 판별 [ 편집 ] 계의 부정정 차수는 M - N 으로 정의되는데, 여기서
M 은 미지부재력 및 반력의 개수,N 은 서로 독립인 평형방정식의 개수이다.M을 계산하는 방법은 다음과 같다.
M = r + 1m1 + 2m2 + 3m3
r: 지점 반력 수
m1 : 양단 회전 절점 부재의 수
m2 : 일단 고정, 타단 회전 절점 부재의 수
m3 : 양단 고정 절점인 부재의 수 N은 다음과 같이 계산한다.
N = 2P2 + 3P3
P2 : 회전 절점수
P3 : 고정 절점수 트러스 간편식 [ 편집 ] 트러스는 부정정 차수를 간편식으로 구할 수 있다.
부정정 차수 = r + m - 2P
r: 반력 수
m: 부재 수
P: 절점 수
↑ 전찬기 외 (2015). 《토목기사 필기 응용역학》. 성안당. 374, 438쪽.
(16-2, 17-2, 19-1)
