토목공학/응용역학/단면의 성질

♣♣♣

적분 기호 속에 들어가는 x, y는 y, x축으로부터 미소요소의 도심까지 수직거리이다!

단면 일차 모멘트

♣♣♣

L³. 축의 위치에 따라 양의 값을 가질수도, 음의 값을 가질수도 있다. 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트는 0

정의

G_{x}=\int _{A}ydA=A\cdot {\bar {y}}

G_{y}=\int _{A}xdA=A\cdot {\bar {x}}

${\bar {x}},{\bar {y}}$ : 각각의 축에서부터 단면의 도심까지 거리

도심

♣♣♣ 15-3, 18-1 등등. 꼭 응용역학에서만 나오는 건 아니고 중요함!!

도심(centroid)이란 어떤 임의 단면에서 직교 좌표축에 대한 단면 1차 모멘트가 0이 되는 점.

{\bar {x}}={\frac {G_{y}}{A}}

{\bar {y}}={\frac {G_{x}}{A}}

대표적인 도형의 도심

도형	그림	${\bar {x}}$	${\bar {y}}$
삼각형		${\frac {b}{3}}$	${\frac {h}{3}}$
사다리꼴	식을 외우기 싫다면 두 개의 삼각형으로 나눠서 도심을 계산하면 된다.	${\frac {L}{3}}\times {\frac {B_{1}+2B_{2}}{B_{1}+B_{2}}}$
사분원		${\frac {4r}{3\pi }}(={\frac {2D}{3\pi }})$	${\frac {4r}{3\pi }}(={\frac {2D}{3\pi }})$
반원		$\,\!0$	${\frac {4r}{3\pi }}(={\frac {2D}{3\pi }})$

이외 도형의 도심 표 : 영어 위키백과의 도심 목록

예제 1 토목기사 기출 92, 18-3 학교 시험에도 잘 나오는 기본 내용.

오른쪽 그림에서 가로방향 중심을 지나는 축을 X라 할 때, X축이하 단면의, X축에 대한 단면일차모멘트 G_X를 구하시오.

풀이

단면 일차 모멘트를 구하려면 부분부분 나눠서 계산해야 한다. 즉 X축으로부터 면적과 도심까지의 거리를 구하기 쉬운 도형들로 나눠서 구해야 한다. $(G_{x}=\int _{A}ydA=A_{1}y_{1}+A_{2}y_{2}+A_{3}y_{3})$

각각의 치수는 왼쪽 그림에 mm단위로 나타나 있다. 값을 대입하여 G_X를 계산한다.

{\begin{aligned}G_{X}&=A_{1}y_{1}+A_{2}y_{2}+A_{3}y_{3}\\&=-50\cdot 240\cdot 120-400\cdot 60\cdot 270-50\cdot 240\cdot 120\\&=-9360000mm^{3}=-9360cm^{3}\end{aligned}}

13-1, 16-2

그림에서 바닥면으로부터 도심을 계산하면?

플랜지, 복부로 나눠서 계산한다.

바닥면으로부터 도심까지 거리를 계산한다.

${\begin{aligned}{\bar {y}}&={\frac {\sum G}{\sum A}}\\&={\frac {7\times 3\times 8.5+3\times 7\times 3.5}{7\times 3+3\times 7}}\\&=6cm\end{aligned}}$

단면 이차 모멘트

♣♣♣

정의

I_{x}=\int _{A}y^{2}dA

I_{y}=\int _{A}x^{2}dA

I_x - x 축에 대한 단면 이차 모멘트
I_y - y 축에 대한 단면 이차 모멘트

차원: L⁴

16-1 기출

우측 그림에서 빗금친 부분의 x축에 대한 단면이차모멘트를 구하시오.

$I_{x}=\int _{A}y^{2}dA$

dA를 구할건데 가로로 잘라야 함. 모멘트를 생각해보자.

$x={\sqrt {6y}}$

${\begin{aligned}dA&=(6-x)dy\\&=(6-{\sqrt {6y}})dy\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}I_{x}&=\int y^{2}(6-{\sqrt {6y}})dy\\&=\int _{0}^{6}(6y^{2}-{\sqrt {6}}y^{\frac {5}{2}})dy\\&=61.714\end{aligned}}$

합성 단면의 단면 이차 모멘트

합성 단면의 단면 이차 모멘트는

I_{xx}=\Sigma \ y^{2}A+I_{local}

로 주어진다. 단, 이 공식은 단면이 x 축에 대해 대칭일 경우에 적용하며, 그렇지 않은 경우에 xx, yy 및 xy축에 대한 단면 이차 모멘트는 다음과 같다.

I_{yy}=\Sigma \ x^{2}A+I_{local}

I_{xy}=\Sigma \ yxA

A - 해당 부분의 단면적

$I_{local}$ 은 합성 단면 중 해당 부분의 단면 이차 모멘트이다.

평행축 정리

♣♣♣18-1, 19-2

중립축과 평행한 임의의 축 x'에 대한 단면 이차 모멘트

I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}

I_x' - x' 축에 대한 단면 이차 모멘트
I_x - x' 축과 평행하고 단면의 도심을 지나는 축 x에 대한 단면 이차 모멘트 (중립축과 일치)
A - 단면의 넓이
d - 축 사이의 거리

참고 연습문제 : 보일러 엔지니어링 블로그 - 단면 이차모멘트와 단면계수. 이거 이해하면 단면이차모멘트, 평행축 정리, 단면계수를 웬만큼 다 이해했다고 봐도 좋을 듯.

오른쪽 T형 단면에서 중립축에 대한 단면이차모멘트를 구하면?

플랜지부분, 복부 나눠서 평행축 정리를 적용해 계산 후 더해준다.

플랜지에 대해선 잘 구했는데 복부에 대해선 틀리게 계산했었다.

플랜지에 대하여

${\begin{aligned}I_{f}&={\frac {7\cdot 3^{3}}{12}}+7\times 3\times 2.5^{2}\\&=147cm^{4}\\\end{aligned}}$

복부에 대하여

${\begin{aligned}I_{w}&={\frac {3\cdot 7^{3}}{12}}+3\times 7\times {\color {red}2.5^{2}}\\&=217cm^{4}\\\end{aligned}}$

$I=I_{f}+I_{w}=364cm^{4}$

대표적인 도형에 대한 단면 이차 모멘트

♣♣♣

I₀는 도심을 지나는 축에 대한 단면 이차 모멘트, I는 도심을 지나는 축에 평행한 축에 대한 단면 이차 모멘트라고 하면,

설명	단면 이차 모멘트	비고
반지름 $r\,$ (지름 D)인 원	$I_{0}=\pi r^{4}/4=\pi D^{4}/64$
너비 $b\,$ , 높이 $h\,$ 인 직사각형	$I_{0}=bh^{3}/12\,$
너비 $b\,$ , 높이 $h\,$ 인 직사각형	$I=bh^{3}/3\,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 유도과정은 여기에
밑변 $b\,$ , 높이 $h$ 인 삼각형	$I_{0}=bh^{3}/36\,$	수리수문학 96
밑변 $b\,$ , 높이 $h$ 인 삼각형	$I=bh^{3}/12\,$	단면의 밑변을 지나는 축에 대한 값. 평행축 정리를 이용해 구할 수 있음(도심으로부터 축까지의 거리 $h/3\,$ ).

정사각형 도심에 대한 단면이차모멘트는 축 방향에 관계없이 일정.(93, 97, 00, 19-1)

단면 2차 반경

♣♣♣96, 99, 17-4, 18-1, 19-1

$r_{x}={\sqrt {\frac {I_{x}}{A}}}$

$r_{y}={\sqrt {\frac {I_{y}}{A}}}$

단면계수

♣♣♣ 14-3, 18-1, 19-1 등등. 다른 과목과의 연계성도 있다.

단면계수(Section Modulus, S)는 도심축에 대한 단면 이차 모멘트를 단면의 가장 끝단에서 도심(centroid)까지의 거리로 나눈 값

S_{X}={\frac {I_{X}}{y_{max}}}

S_{Y}={\frac {I_{Y}}{x_{max}}}

Section modulus equations(실선 화살선 : 도심축)
Cross-sectional shape	그림	공식
사각형		$S={\cfrac {bh^{2}}{6}}$
원		$S={\cfrac {\pi r^{3}}{4}}={\cfrac {\pi d^{3}}{32}}$

최대 단면계수를 갖기 위한 조건(18-3)

가장 왼쪽 그림처럼 세 변의 길이 비가 $1:{\sqrt {2}}:{\sqrt {3}}$ 이어야 함.

단면 2차 극모멘트

♣♣♣12-3, 16-2, 18-1

polar moment of inertia. 극관성 2차 모멘트라고도 함. 좌표축 회전 관계없이 항상 일정.

$I_{P}=\int _{A}r^{2}dA=\int _{A}(x^{2}+y^{2})dA={\color {red}I_{y}+I_{x}}$

단면 상승 모멘트

= 관성적(product of inertia). +, -, 0 모두 가능(15-1, 16-4, 17-2)

비대칭 단면일 때(일반식) (19-2)

$I_{xy}=\int _{A}xydA$

대칭 단면이지만 축이 단면 도심을 지나지 않을 때♣♣♣

${\color {red}I_{xy}=A\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}}}$

대칭 단면이면서, 축이 단면 도심을 지날 때(17-4)

$I_{xy}=0$

비대칭 삼각형의 경우(13-3, 19-2)

$y=h-{\frac {h}{b}}x=h\left(1-{\frac {x}{b}}\right)$

$dA=ydx$

${\begin{aligned}I_{xy}=\int _{A}xydA&=\int _{0}^{b}x\left({\frac {y}{2}}\right)ydx\\&={\frac {h^{2}}{2}}\int _{0}^{b}x\left(1-{\frac {x}{b}}\right)^{2}dx\\&={\frac {b^{2}h^{2}}{24}}\end{aligned}}$

결론 식만 암기!

1. 95, 17-4

오른쪽 그림에 대해 단면 상승 모멘트를 구하시오.

풀이

${\begin{aligned}I_{xy}&=A\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}}\\&=36\times 3\times 3-16\times 4\times 4\\&=68\\\end{aligned}}$

참고 자료

전찬기 외 (2015). 《토목기사 필기 - 응용역학》. 성안당.
Gere, Goodno. 《SI 재료역학》 8판. 센게이지 러닝 코리아.
Nasreddin S. Elmezaini, Mechanics of Materials - Product of Inertia(pdf)