사용자:Gcd822/토목기사 오답노트/토질 및 기초/흙 속에서의 물의 흐름

지하수 흐름의 기본

전수두 = 위치수두 + 압력수두 + 속도수두
흙 속의 물의 흐름은 속도가 거의 없다고 보기 때문에 속도수두 = 0
따라서 전수두 = 위치수두 + 압력수두
수두를 구할 땐 기준면 설정이 중요
물 층만을 통과할 땐 (전)수두손실이 없다고 본다.
하방향 흐름 : 정수압보다 수압 감소, 유효응력 증가
상방향 흐름 : 정수압보다 수압 증가, 유효응력 감소
상방향 흐름이든, 하방향 흐름이든, 흙을 통과하면 수두손실이 생긴다. 상향 흐름은 흙 위쪽이 전수두가 더 작고, 하향 흐름은 흙 아래쪽이 전수두가 더 작다.
한계동수경사 i_c : 유효응력이 0이 될 때의 동수경사. 분사현상, 보일링 현상 발생 시작. 파이핑으로 이어짐.

압력수두

피에조미터를 꽂았을 때 수압에 해당하는만큼 물기둥이 상승한다. 이 높이를 압력수두라 함.

$h_{p} = \frac{u}{γ_{w}}$

위치수두

수두를 구할 때 기준면을 설정한다. 기준면으로부터 수두를 구하는 지점까지의 높이를 위치수두라 한다.

투수계수에 영향을 주는 인자

♣♣♣15-1, 16-1, 18-1, 18-3, 19-3 / 18-2, 19-3 수리수문학 / 실기 00-5, 02-2

매질과 통과 유체에 따라 투수계수가 결정

매질 : 유효입경 D₁₀, 공극비 e, 비표면적 S 등
유체 : 단위중량 γ, 점성계수 η 등.

다음은 투수계수를 결정하는 몇 가지 식 중 하나.

Taylor의 식(1948)

13-2, 19-3

C가 형상계수라고 할 때,

k = {D_{10}}^{2} \frac{γ}{η} \frac{e^{3}}{1 + e} C

투수계수는 점성과 반비례
- 점성은 온도에 반비례
- 따라서 투수계수는 온도에 비례
불포화토는 간극 속에 공기가 존재, 물의 흐름을 방해하여 포화토에 비해 투수계수가 낮게 됨.
점토는 면모구조가 이산구조(분산구조)보다 투수계수가 큼.

성층토층 평균투수계수

♣♣♣

토층이 다양한 경우 투수계수는 각 토층의 불교란 시료를 채취하여 각각의 투수계수를 측정한 후 전체 토층의 평균투수계수를 구하는 방법을 쓴다.

수평토층 평균투수계수

각 토층의 단위폭당 유량( $q_{1}, q_{2}, \dots q_{n}$ )을 전부 합하면 전체 토층의 평균투수계수를 이용한 단위폭당 유량(q)과 같다는 원리를 이용한다.

q_{1} + q_{2} + \dots + q_{n} = q

k_{1} i H_{1} + k_{2} i H_{2} + \dots k_{n} i H_{n} = k_{h} i H

\begin{matrix} ∴ k_{h} & = \frac{1}{H} (k_{1} H_{1} + k_{2} H_{2} + \dots k_{n} H_{n}) \\ = \frac{1}{H} \sum_{i = 1}^{n} k_{i} H_{i} \end{matrix}

$k_{h} H = \sum_{i = 1}^{n} k_{i} H_{i}$

수직토층 평균투수계수

18-2, 18-3

각 토층을 지나면서 생기는 수두손실을 $h_{1}, h_{2}, \dots, h_{n}$ 이라고 하자. 모든 토층을 지났을 때 수두손실 $h = h_{1} + h_{2} + \dots + h_{n}$ 이며, 이것을 각 토층의 동수경사와 토층 두께로 나타낸다면 다음과 같이 된다.

h = i_{1} H_{1} + i_{2} H_{2} + \dots + i_{n} H_{n}

토층을 지나는 유량이 모두 동일하기 때문에 $q_{1} = q_{2} = \dots = q_{n} = q$ 이며, 연속방정식에 의하면 유속도 모두 동일하다( $v_{1} = v_{2} = \dots = v_{n} = v$ ) 이를 각 토층의 투수계수와 동수경사로 나타낸다.

k_{1} i_{1} = k_{2} i_{2} = \dots = k_{n} i_{n} = k_{v} i

전체 토층에서 유속으로부터

v = k_{v} i = k_{v} \frac{h}{H}

\begin{matrix} k_{v} = \frac{H}{h} v & = \frac{H}{\frac{1}{v} (i_{1} H_{1} + i_{2} H_{2} + \dots + i_{n} H_{n})} \\ = \frac{H}{\frac{H_{1}}{k_{1}} + \frac{H_{2}}{k_{2}} + \dots + \frac{H_{n}}{k_{n}}} \end{matrix}

∴ k_{v} = \frac{H}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{H_{i}}{k_{i}}}

유도 번거로우니 결과식만 외우자.

$\frac{H}{k_{v}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{H_{i}}{k_{i}}$

물의 2차원 흐름

♣♣♣

유선망(flow net)은 토질역학에서 유선과 등수두선으로 이루어진 망을 말한다. 흙 속의 물의 흐름을 나타낸다. 인접한 2개의 유선으로 이루어진 공간을 유로(flow path)라 하고, 인접한 2개의 등수두선으로 이루어진 공간을 등수두면(또는 등압면; equipotential space)이라고 한다. 그림에서는 4개의 유로, 6개의 등수두면이 있다.

유선과 등수두선을 셀 때 가장자리의 유선과 등수두선도 세는 걸 빼먹으면 안 됨.

특성

♣♣11, 13, 15-1, 15-2, 18-1, 19-2 / 실기 05-1

유선과 등수두선은 직교
유선, 등수두선으로 이루어지는 사변형은 정사각형(그림에서 a=b)
인접한 두 유선 사이의 침투수량은 동일
인접한 두 등수두선 사이의 손실수두는 동일
침투속도와 동수경사는 유선망의 폭에 반비례(18-1)^[1]
유선망 성립에 필요한 유로 수는 4~6개

간극수압 계산 문제

13-1 / ♣실기 05-3, 08-2, 11-3 기출 일부

오른쪽 그림에서 A점의 간극수압은?

한칸에 2.5m로 보고 뭔가 하는건 줄 알았는데 그게 아니었음.

올바른 풀이

기준면을 잡아야 한다!!!! 하류쪽 수면을 기준면으로 하자.

물이 흙을 통과하면서 수두손실이 발생한다. 전수두가 상류에서 출발할 땐 20m임. 근데 통과하면서 손실때문에 기준면 상에선 전수두 0이 되겠지? 그럼 A점에선 0보다 큰 어떤 값일 것이다. 10칸 통과하면 20m 손실이고 전수두는 0, 8칸 통과하면? $20 \times \frac{8}{10} = 16 m$ 손실이고 전수두는 4m!!

위치수두는 기준면에서부터 -5m

전수두 = 위치수두 + 압력수두

이므로 압력수두 = 전수두 - 위치수두 = 4 - ( - 5) = 9m

간극수압은 물의 단위중량 곱하면 되니까 9t/m²

어렵지 않은 문제니까 익숙해지면 잘 풀 수 있을 것이다.

등방 토질에서 침투유량

♣♣♣

등방인 토질에서 단위폭당 침투유량 q는 다음 식으로 구한다.

q = k h \frac{n_{f}}{n_{d}}

k : 투수계수

h : 측정하는 두 지점 사이의 전손실수두

n_f : 유로 수

n_d : 등수두면 수

상향침투

모르겠으면 원리 이용해서 계산해도 됨. 식 외울 필요 없이

B점 응력 계산

$σ_{B} = H_{2} γ_{w} + H_{1} γ_{s a t}$
$u_{B} = (H_{1} + H_{2} + h) γ_{w}$
$\overline{σ_{B}} = σ_{B} - u_{B} = H_{1} γ_{s u b} - h γ_{w}$

C점 응력 계산

$σ_{C} = H_{2} γ_{w} + z γ_{s a t}$
$\begin{matrix} u_{C} & = (H_{2} + z + \frac{h}{H_{1}} z) γ_{w} \\ = (H_{2} + z + i z) γ_{w} \end{matrix}$
$\overline{σ_{C}} = σ_{C} - u_{C} = z γ_{s u b} - \frac{h}{H_{1}} z γ_{w}$

$\overline{σ} = γ_{s u b} z - i z γ_{w}$

하향침투 시 정수압보다 수압 감소, 유효응력 증가

$\overline{σ} = γ_{s u b} z + i z γ_{w}$

한계동수경사

상향침투에서 유효응력이 0인 경우

$\overline{σ} = γ_{s u b} z - i_{c} z γ_{w} = 0$

$i_{c} = \frac{γ_{s u b}}{γ_{w}} = \frac{G_{s} - 1}{1 + e}$

참고 서적

이인모. 《토질역학의 원리》 2판. 씨아이알. 214쪽.

86, 91, 98, 02, 09 기출

AA면에 작용하는 유효 수직응력은? 흙의 포화단위중량은 1.8g/cm³이다.

풀이

유효 연직응력

$\begin{matrix} \overline{σ} & = γ_{s u b} Z - γ_{w} \cdot \frac{Δ h}{H_{2}} \cdot Z \\ = (1.8 - 1) \times 10 - 1 \times \frac{20}{50} \times 10 \\ = 4.0 g / c m^{2} \end{matrix}$

위의 설명 식대로 풀면

$σ = γ_{w} \times 10 c m + γ_{s a t} \times 10 c m$

$u = γ_{w} \times 10 c m + γ_{w} \times 10 c m + γ_{w} \times \frac{20 c m}{50 c m} \times 10 c m$

$\begin{matrix} \bar{σ} = σ - u & = (γ_{s a t} - γ_{w}) \times 10 c m - γ_{w} \times \frac{20}{50} \times 10 c m \\ = γ_{s u b} \times 10 c m - γ_{w} \times \frac{20}{50} \times 10 c m \\ = 0.8 \times 10 - \frac{20}{50} \times 10 \\ = 4 g / c m^{2} \end{matrix}$

분사 현상

주로 사질토 지반에 일어나는 현상
- 점성토는 유효응력이 0이 되어도 점착력 때문에 전단 강도는 0이 되지 않음
- 모래는 유효응력이 0이 되고 점착력이 없어 전단 강도를 가질 수 없어 분사 현상 발생
침투 수압에 의해 모래가 물과 함께 유출. (quick sand)

분사현상 검토방법

♣♣♣

동수경사 이용
물체력 이용
- 유효중량 + 침투수력 이용
- 전중량 + 경계면 수압 이용(경계면 수압은 검토영역 위에도 물이 있을 수 있음)

결국 다 같은 식으로 정리되긴 함.^[2]

AA면에서

$γ_{s a t} L = γ_{w} (L + h)$

$γ_{s u b} L = γ_{w} h$

$\frac{γ_{s u b}}{γ_{w}} = \frac{h}{L}$

♣♣♣ 안전율 (07, 08, 14-2, 14-3, 16-4, 18-1, 18-2, 18-3 / 실기)^[3]^[4]

$F_{s} = \frac{i_{c}}{i}$

$i = \frac{h}{L}$

널말뚝에서 분사현상

♣♣♣위 내용과 연결지어 이해!

물막이 널말뚝에서 유선이 집중하여 있는 곳에서 침투수의 유속이 빨라지면서 흙속의 세립자가 유실되어 점차적으로 내부의 토사가 솟아오름.
유효 압력(침투력)이 모래의 수중 단위 무게(γ_sub)보다 클 때 분사 현상.^[3]
분사 현상이 계속 되면 물이 흐르는 통로가 생겨 파괴. 파이핑(piping)
만약 두 지점 동수경사 주면 최댓값으로 검토.(90, 93) w:파이핑에서 수두 가지고 하는 거랑 다름.

$γ_{s a t} d < γ_{w} (d + h)$

$\overline{σ_{d}} = γ_{s u b} d < γ_{w} h = u$

1. 00, 04, 08, 19-2

오른쪽 그림과 같이 모래층에 널말뚝을 설치해 물막이공 내의 물을 배수하려 한다. 분사현상이 없도록 하려면 얼마의 압력을 가해야 하는가? 모래 비중은 2.65, n = 39.4%, 안전율은 3이다.

풀이

$e = \frac{n}{100 - n} = 0.65$

$γ_{s u b} = \frac{G_{s} - 1}{1 + e} γ_{w} = 1 t / m^{3}$

파선 표시한 부분에서 유효중량+침투수력 이용

$F_{s} = \frac{\bar{σ} + Δ σ}{u} = \frac{γ_{s u b} h_{2} + Δ σ}{2 γ_{w} i z}$

$3 = \frac{1 \times 1.5 + Δ σ}{2 \times 1 \times \frac{6}{3} \times 1.5} (∵ i = \frac{6 m}{3 m})$

$∴ Δ σ = 16.5 t / m^{2}$

13-2, 18-2 / 실기 06-1, 08-3, 17-1

포화 모래층이 피압수압을 받고 있다. 그 위의 점토층을 5m 굴착했을 때, 분사현상이 생기지 않게 하려면 수심 h가 얼마가 되어야 하는가?

유효단위중량과 침투수압을 이용한 풀이

clay와 sand의 경계면에서 흙이 받는 유효응력과 침투수압이 같아지는 순간 분사현상이 발생하므로

$W^{'} = γ_{s u b} \times 3 m$

$\begin{matrix} F_{s p} & = γ_{w} i z = γ_{w} \frac{7 - 3 - h}{3 m} \times 3 m \\ = γ_{w} (7 - 3 - h) \end{matrix}$

$0.8 \times 3 = 4 - h$

$∴ h = 1.6 m$

전중량, 경계면 수압을 이용한 풀이

결국에는 위 풀이와 같은 이야기다.

$W = γ_{s a t} \times 3 m$

$U_{t o p} = γ_{w} h$

$U_{b o t} = γ_{w} \times 7 m$

피압수압을 받는 층 2m 내의 어느 지점에 피에조미터를 꽂든 물기둥은 7m만큼 올라간다. 지표면에서 8m 지점에 꽂더라도 공극수압은 7m의 압력수두만큼 생긴다.

$W + U_{t o p} = U_{b o t}$

$1.8 \times 3 + h = 7$

$∴ h = 1.6 m$

각주

↑ $v = k i = k \frac{Δ H}{L}$ 에서 L에 유선망의 폭이 들어가는데 이걸 보면 반비례함을 알 수 있음.
↑ 이인모. 《토질역학의 원리》 2판. 씨아이알.
↑ ^3.0 ^3.1 임진근 외 (2015). 《토목기사 필기 토질 및 기초》. 성안당. 6-9쪽.
↑ 박영태, <<토목기사 실기>>(개정 5판), 271쪽

참고 문헌

임진근 외 (2015). 《토목기사 필기 과년도 - 토질 및 기초》. 성안당.
이인모. 《토질역학의 원리》 2판. 씨아이알.
박영태 (2019). 《토목기사 필기》. 세진사.
《토목기사 필기 핵심정리 블랙박스 하권》. 한솔아카데미. 2020.

[1] $v = k i = k \frac{Δ H}{L}$ 에서 L에 유선망의 폭이 들어가는데 이걸 보면 반비례함을 알 수 있음.

[:1-2] 이인모. 《토질역학의 원리》 2판. 씨아이알.

[:0-3] 3.0 ^3.1 임진근 외 (2015). 《토목기사 필기 토질 및 기초》. 성안당. 6-9쪽.

[4] 박영태, <<토목기사 실기>>(개정 5판), 271쪽

[1]

[2]

[3]

[4]