9급 공무원 토목설계/보의 휨해석과 설계

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휨설계 기본가정[편집]

♣♣♣

  • 철근, 콘크리트 변형률은 중립축 거리에 비례.
  • 콘크리트 압축연단 최대변형률(극한변형률) = 0.003
  • 철근은 완전 탄소성 거동. 이면 이면
    • 이거 조심!!! 압축철근 변형률 도 마찬가지다. 항복변형률 이상이면 응력은 후크의 법칙으로 구하지 않고 그냥 fy다!!!
  • 콘크리트 인장강도는 무시
  • 콘크리트 응력분포는 등가직사각형 응력분포.

유효깊이 계산[편집]

이건 기사문제인데 원리는 똑같음. 유효깊이는 인장철근 도심까지 거리라서 압축철근이 있더라도 무시하고 인장철근만 가지고 계산하면 됨.

Cross section of a concrete beam1.png

오른쪽 그림에서 유효깊이 d를 구하시오. D19 철근 공칭단면적은 287mm2


바리뇽의 정리를 이용하는 문제다.

d = 410mm

철근 보강상태에 따른 파괴 유형[편집]

10, 11, 12, 13, 16

과보강 단면[편집]

과다철근보, Over Reinforced Section

과소철근보, 과다철근보.png
  • 보의 연성 감소. 덜 처짐.(철근비 증가 시. 자주 틀림. 철근 항복강도랑 처짐은 관계 없는듯?[1]) 압축취성파괴[2] 발생. 중립축이 인장부로 이동.
  • 과소철근보보다 휨강도는 약간 더 큼.

저보강 단면[편집]

과소철근보[3], Under Reinforced Section

  • 인장 연성파괴 발생. 중립축이 압축부로 이동.

아주 저보강 단면[편집]

Lightly Reinforced Section

  • 인장 취성파괴 발생.(철근이 과다하게 늘어나면서 갑작스러운 파괴)

예상[편집]

  • 최소철근비 이상에서 인장철근비를 작게, 단면을 크게 하는 건 처짐제한에 유리한가?
    • (O) 단면 크면 단면이차모멘트가 커지니까 처짐값이 줄어든다. 최소철근비 이상에서 인장철근비를 줄이면 압축철근비가 늘어나야 한다. 때문에 처짐제한에 유리해진다.[4]

균형철근비, 최소철근비[편집]

♣♣♣ 10, 11, 12, 15

균형철근비

최소철근비

최소철근비 계산에 두 식을 써서 비교하는 이유 : 콘크리트 강도가 커지면 취성이 증가하므로 이것도 반영한 것.

판정

철근비 판정.png
  • ρ = ρb : 균형보
  • ρ > ρb : 과보강보
  • ρmin ≤ ρ < ρb : 저보강보
  •  : 아주 저보강보

최소철근량 규정[편집]

  • 휨부재의 모든 단면에서 해석에 의해 필요한 철근량보다 1/3 이상 인장철근이 더 배치되는 경우 최소철근량 규정을 적용하지 않을 수 있다.(09, 12, 15)
  • 정정구조물로써 플랜지가 인장 상태인 T형보(예 : 캔틸레버로 된 T형보) 단면의 경우 최소철근량을 구하기 위한 식에서 bw값은 플랜지 유효폭 b와 2bw작은 값 사용.(15) 이거 계속 틀리네... 계산문제 있다. 최소철근비는 둘 중 큰값, 폭은 반대로 작은값! 2b와 bw 중 큰값일 리는 없지... 맨날 2b가 클테니까

예제

Flange tension cantilever.png

우측 그림에서 최소철근량 계산하기

b나 bw 넣는 게 아님!!!!

하지만 플랜지가 압축되는 통상의 T형보는 최소철근량 계산 시 bw 사용! 판정이 단철근 직사각형보로 되든, T형보로 되든 bw를 넣어 검토한다![5]


  • 두께가 균일한 구조용 슬래브, 기초판에 대해 경간방향으로 보강되는 인장철근 최소 단면적은 수축, 온도철근량에서 규정한 값과 같아야 한다. 이때 철근 최대 간격은 슬래브 또는 기초판 두께의 3배와 450mm 중 작은 값을 초과하지 않아야 한다.

최대 철근비[편집]

fy (MPa) 최소 허용 인장변형률 εtmin
400 이하 0.004
400 초과

이건 최소 허용인장변형률에 대한 값이고 인장지배한계에 대한 최대철근비도 있는데 그냥 의 자리에 인장지배변형률 한계 0.005 또는 2.5εy 넣으면 됨.

최대철근비 식을 균형철근비 공식과 조합하면

파괴모드 결정[편집]

♣♣♣

b = 300mm, d = 400mm, As = 250mm2, fck = 24MPa, fy = 400MPa인 단철근 직사각형 보의 파괴형태는?


철근비를 구한 뒤, 균형철근비, 최소철근비를 가지고 파괴 유형을 결정한다.

이므로 저보강이거나 아주 저보강일 것이다. 최소철근비를 검토한다.

최소철근비는 변형률도에서 최외단 인장철근 변형률 구해서 하는 게 아님!! 설계기준에서 정하는 공식으로 구하는 거다!! 깜빡하지 말자. 최외단 인장철근 변형률 활용하는 건 지배단면 구할 때임

따라서 아주 저보강된 단면이며, 찢어짐 파괴가 일어난다.

중립축 위치[편집]

원리 이해하기. 균형보 뿐만 아니라 다른 것도 중립축 위치 자주 물어봄. 00, 05, 12, 15, 16

균형보의 중립축 위치[편집]

05, 12

등가직사각형 응력블록[편집]

비직사각형 단면 예제1.png

그림과 같은 단면 보가 균형상태에 있다. 압축부 콘크리트에 작용하는 압축력은?


중립축 cb를 구하고 등가직사각형 응력블록 깊이 a를 계산해야된다. 착각하면 안 되는 게, 등가직사각형 응력블록 깊이를 c로 하면 안 된다!

비직사각형 단면 예제2.png

cb = 400mm

비직사각형 단면 예제3.png


비직사각형 단면 예제4.png

오른쪽 그림과 같은 단면 보에 중립축 거리 c에 작용하는 압축응력을 등가직사각형 응력분포로 환산하여 빗금친 부분으로 나타내었다. As = 2040mm2, fck = 24MPa, fy = 400MPa일 때 c는?


x = 50mm

a가 빗금 부분의 하단까지 거리임!!!!!! 이게 핵심이다. 즉 a = 100 + 50 = 150mm인 것!!

공칭강도[편집]

인장지배단면이라고 알려주더라도 이건 Φ 알려준 거고, 강도 계산에 쓰이는 c 구할 땐 다음 식으로 계산.

변형률도 가지고 c 구하는 게 아님.

인장철근량, 항복강도를 늘려주면 어느 정도까지는 설계강도 역시 증가하다가 다시 감소함.

강도감소계수[편집]

09

압축측 연단 콘크리트 변형률이 극한변형률 εcu = 0.003에 도달했을 때 최외단 인장철근 순인장변형률 εt 크기에 따라 부재 단면을 압축지배단면(Compression Controlled Section), 인장지배단면(Tension Controlled Section), 변화구간단면(Transition Region)으로 구분한다.

순인장변형률이란 프리스트레스 힘, 크리프, 건조수축, 온도변화에 의한 변형률을 고려하지 않은 인장변형률!

변화구간 13, 14, 15, 16 ♣♣♣

11, 14, 15 ♣♣♣ 자꾸 깜빡하고 엉뚱한 값 넣지 않도록 조심!!!!!!!! 자꾸 실수한다. 특히 최대철근비(량) 구할 때!

철근 종류 압축지배 변형률 한계 최소허용변형률 εmin 인장지배 변형률 한계
SD 400 이하 εy 0.004 0.005
SD 400 초과 εy 2.0εy 2.5εy
PS 강재 0.002 - 0.005
  • 프리스트레스를 받지 않는 휨부재 또는 휨모멘트와 축력을 받지 않는 부재로 계수축력이 보다 작은 경우 공칭축강도 상태에 있어 순인장변형률 εt가 휨부재 최소허용변형률 이상이어야 한다.

주의

  • 철근의 항복강도가 바뀔 때(예 : SD 500으로 주면 깜빡하고 낚임) 압축, 인장지배 변형률 한계 바뀌는 것 까먹지 말기!! ♣♣♣
  • 변화구간단면이라고 단정짓기 전에... 습관적으로 최소허용변형률보다 εt가 큰지 확인!!! 아니라면 단면 확대 또는 철근을 줄여줘야 함!(연성 증가 필요)

휨균열 제어 - 표피철근 배치[편집]

표피철근(skin reinforcement). 보 또는 장선의 깊이 h가 900mm를 초과하면 종방향 표피 철근을 인장 연단으로부터 h/2 지점까지 부재 양 측면을 따라 균일하게 배치해야 한다.

표피철근.png

복철근 보[편집]

  • 과다철근보가 될 때에는 압축철근을 배치하는 게 좋다.(O) 콘크리트가 먼저 압축파괴되려 하니까 압축철근으로 압축력을 같이 받아주면 좋겠지?

압축철근 효과

  • 지속하중에 의한 장기처짐 감소(크리프 억제)
  • 연성 증대
  • 인장지배단면 파괴 유도
  • 철근 조립 쉽게 함.(전단 철근)
  • 단철근 보에 비해 압축철근이 들어간다고 휨 내력이 크게 증가하진 않는다.
  • 정(+), 부(-) 모멘트가 반복 작용하는 경우 구조체 안전성을 높임.

복철근 직사각형 보의 해석[편집]

복철근 직사각형 보.png


등가응력 직사각형의 깊이

압축철근 항복 변형률

복철근 보 변형률1.jpg

로 c 계산한 뒤에 압축철근 변형률 계산할 때 인장철근 변형률 εy로 놓지 말고 εs로 놓기!! 착각하지 말자. 인장철근이 항복한다고 하더라도 인 것이지, 무조건 가 아님!! 고!!!

복철근 직사각형보3.png

공칭강도 : 복철근보는 단철근 직사각형보가 부담할 수 있는 휨모멘트와, 압축철근과 이에 해당하는 인장철근이 부담할 수 있는 휨모멘트로 구분하여 계산.

설계강도 계산 시 강도감소계수 Φ는 최외단 인장철근 변형률 εt 이용해서 계산해주어야 함. 그냥 0.85가 아님! 최소철근량은 검토하라고 단계에 나와있긴 한데 예제풀이엔 안 했다. 그냥 안전빵으로 하면 좋을 듯.

복철근보 인장철근비 상한, 하한[편집]

인장철근, 압축철근 모두 항복하는 경우[편집]

균형철근비[편집]

에서 유도

  • 복철근 보 균형철근비
  • 단철근 보 균형철근비
  • 압축철근비

이 담에 몇 가지 깜빡하는데, 균형철근비니까 b 들어가고, 좌변에 '바' 들어가는 거 까먹지 말자.

최소철근비(인장철근비 하한)[편집]

압축철근 항복을 위한 최소철근비(인장철근비 하한)[편집]

분모에 마이너스다!

우측 첫번째 항은 변형률도에서 c에 대해 정리한 다음 위 (1)식에 넣어준 것임.

복철근 보 변형률.png

인장취성파괴 방지 위한 최소철근비(인장철근비 하한)[편집]

복철근보는 단철근보에 비해 과다철근보. 따라서 일반적으로

최대철근비(인장철근비 상한)[편집]

복철근 보의 인장철근비 상한

  •  : 단철근 보 인장철근비 상한

복철근보 인장, 압축철근이 모두 항복하기 위한 철근비 조건[편집]

등호 다 들어감. 오른쪽 세 개는 전부 '바' 들어감.

압축철근이 항복하지 않는 경우[편집]

균형철근비[편집]

우측 1항을 단철근보로 보면

최대철근비(인장철근비 상한)[편집]

인장철근비 하한[편집]

정리[편집]

인장, 압축철근 항복 인장철근만 항복
X
조건

T형보의 장점[편집]

  • 직사각형 보에 비해 큰 압축대폭 사용. 단, 슬래브가 휨인장을 받는 경우는 장점 거의 없음.
  • 유효폭 증가 → 주철근량 줄일 수 있음.
  • 큰 강성(EI). 처짐 감소
  • 사용하중 하에서 콘크리트 압축응력 감소시켜 크리프에 의한 장기처짐 감소
  • 직사각형 보에 비해 자중 감소, 재료 절약, 지간 길게 가능.

T형보 플랜지 유효폭[편집]

세 값 중 작은 값

  • 양쪽 슬래브 중심간 거리 : 길이가 다를 수 있으니 조심!
  • 경간의 1/4
대칭 T형보 평면도를 보고 유효폭 구하는 문제. A로 표시한 부분이 T형보이다. 경간, 슬래브 중심간 거리를 잘 봐둘 것. T형보 플랜지, 복부 치수는 단면도를 통해 따로 주어지는데 그건 생략함. 슬래브 중심간 거리 구할 때, 치수가 보의 중심부터 나와있으니까 따로 복부폭 더해주면 안 된다!


반T형보 플랜지 유효폭[편집]

세 값 중 작은 값

  • 인접보와 내측거리

구한 유효폭 be가 아래 계산에서 b로 쓰임.

독립 T형보[편집]

T형보 설계[편집]

맨날 틀림. 맞춘 적이 없음 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

  • T형보 플랜지가 인장되는 경우 휨인장철근을 유효플랜지 폭이나 경간 1/10 폭 중에서 작은쪽에 걸쳐 분포시킨다. 유효플랜지 폭이 경간의 1/10을 넘는 경우 추가로 축방향 철근을 배치해야 한다.(수축, 온도철근)
  • 횡방향철근은 T형보 내민 플랜지를 캔틸레버로 보고 플랜지에 작용하는 계수하중에 대해 설계(이때 독립 T형보는 내민플랜지 전폭을 유효폭으로 함). 횡방향철근 간격은 슬래브 두께 5배 이하, 450mm 이하
  • 부(-)의 휨모멘트를 받고 있는 T형보의 중립축이 웨브 내에 있으면 웨브를 폭으로 하는 직사각형보로 설계
  • 정(+)의 휨모멘트를 받는 T형보에서 중립축이 가급적 플랜지 내에 들도록 설계하는 것이 유리
  • 정(+)의 휨모멘트를 받는 T형보의 인장철근량 인 보는 폭 b인 직사각형보로 취급(이거 그냥 T형보 판정하는 얘기네)
  • 일반적으로 T형보에서 웨브는 전단력에, 플랜지는 에 저항.

T형보의 판정[편집]

T형보1.png

  • a > tf : T형보
  • a ≤ tf : 폭이 b인 단철근 직사각형보

또는 플랜지 전체가 받는 압축력과 인장철근이 받는 인장력을 비교해서 판정해도 된다.

♣♣♣ 14-3, 15-1, 15-2, 18-1, 18-2 기사문제

fck = 21MPa, fy = 300MPa, b = 1000mm, tf = 60mm, bw = 300mm, d = 600mm, As = 4000mm2일 때 설계휨강도 φMn을 구하시오.


1) T형보 판정

전체에 대해서 응력블록의 깊이 a 계산.

a = 67.2mm

a > tf이므로 T형보로 해석한다.

2) 응력사각형 깊이 a 계산

플랜지 내민 부분 압축력에 대응하는 가상의 인장철근 단면적

T형보3.png

Cf = Tf에서

T형보2.png

Cw = Tw에서

Φ 계산(그냥 0.85가 아님!!!!!!!!!!!!!)

T형보 인장철근 변형률.jpg

3) 설계강도 Md

최소철근량 검토도 잊지 말자.

기타[편집]

  • 보의 횡지지 간격은 압축플랜지 또는 압축면 최소폭의 50배 이하.

각주[편집]

  1. 이학민 (2016). 《토목설계》. 탑스팟. 3-97쪽. 
  2. https://www.youtube.com/watch?v=5cF2lEZge0M
  3. 이학민 (2016). 《토목설계》. 탑스팟. 3-58쪽. 
  4. https://cafe.naver.com/tomokgisa/15706
  5. 윤영수. 《철근콘크리트 역학 및 설계》 3판. 씨아이알. 173, 175쪽.