포털:중학교/중등 1학년/수학/집합

자료 정보
진행 상황: 이 자료는 갓 만들어지기 시작하였습니다. 잘 진행될 수 있도록 여러분이 도와주세요.
교육 수준: 이 자료는 중학교 강의 수준의 자료입니다.
과목 정보: 이 자료는 수학 과목의 자료입니다.

집합

집합의 개념과 표현

집합과 원소의 개념을 알아보자.

• 집합 : 주어진 조건에 의해 그 대상이 분명히 정해지는 모임.
• 원소 : 집합을 이루는 대상 하나하나.
• A가 5의 약수의 집합이면 1,5는 집합 A의 원소이다. 이 때 원소 1,5는 각각 집합 A에 속한다고 하고, 이것을 기호로 1∈A, 5∈A와 같이 나타낸다. 한편 2,3,4 등은 집합 A의 원소가 아닌데, 이 때 2는 각각 집합 A에 속하지 않는다고 하고, 이것을 기호로 ∈에 빗금을 친 것을 ∈ 대신 사용하여 나타낸다.

집합을 나타내는 방법을 알아보자.

• 원소나열법 : 그 집합에 속하는 모든 원소를 { } 안에 나열하여 집합을 나타내는 방법. (집합을 원소나열법으로 나타낼 때에는 원소를 순서와 관계없이 한 번만 쓰며, 집합의 원소가 많고 일정한 규칙이 있으면 원소의 일부를 생략하여 '...'을 사용할 수 있다. 예 : {1,2,3})
• 조건제시법 : 그 집합에 속하는 원소들이 가지는 공통된 성질을 조건으로 제시하여 나타내는 방법. (예 : {x|x는 3의 배수})
• 벤 다이어그램 : 집합을 원이나 직사각형 등을 이용하여 그림으로 나타내는 방법.

집합을 원소의 개수에 따라 분류하여 보자.

• 유한집합 : 유한개의 원소로 이루어진 집합.
• 무한집합 : 무한히 많은 원소로 이루어진 집합.
• 공집합 : 원소가 하나도 없는 집합. 기호는 ∅을 사용한다. 공집합은 유한집합으로 생각한다.
• 집합 A가 유한집합일 때, 집합 A의 원소의 개수를 기호로 n(A)와 같이 나타낸다.

집합 사이의 포함 관계

두 집합 사이의 포함 관계를 알아보자.

• 두 집합 A, B에 대하여 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 속할 때, 집합 B를 집합 A의 부분집합이라고 한다. 이 때 집합 B는 집합 A에 포함된다 또는 집합 A는 집합 B를 포함한다고 하고 이것을 기호로 B⊂A 와 같이 나타낸다.
• 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이고, 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.
• 한편 집합 B가 집합 A의 부분집합이 아닐 때, 이것을 기호로 ⊂에 빗금을 하나 쳐서 나타낸다.
• 두 집합 A, B의 원소가 모두 같을 때, 집합 A와 집합 B는 서로 같다고 하고, 이것을 기호로 A=B와 같이 나타낸다. 이 때 A⊂B 이고 B⊂A이다.
• 한편 두 집합 A와 B가 서로 같지 않을 때, 이것을 기호로 =에 빗금을 하나 쳐서 나타낸다.
• 집합 A가 집합 B의 부분집합이고 서로 같지 않을 때, 즉 A⊂B 이고 A=/=B일때, (=/=는 같지 않다라는 기호의 대체) 집합 A를 집합 B의 진부분집합이라고 한다.

집합의 연산

교집합과 합집합을 알아보자.

• 두 집합 A, B에 대하여 집합 A에도 속하고 집합 B에도 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 A와 B의 교집합이라고 하고, 이것을 기호로 A∩B 와 같이 나타낸다. 이것을 조건제시법으로 나타내면 {x|x∈A 그리고 x∈B}이다.
• 두 집합 A, B에 대하여 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 A와 B의 합집합이라고 하고, 이것을 기호로 A∪B 와 같이 나타낸다. 이것을 조건제시법으로 나타내면 {x|x∈A 또는 x∈B}이다.
• 일반적으로 두 집합 A, B가 유한집합일 때 n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)이다.

전체집합과 여집합을 알아보자.

• 주어진 집합에 대하여 그 부분집합을 생각할 때 처음에 주어진 집합을 전체집합이라고 하고, 이것을 기호로 U 와 같이 나타낸다.
• 집합 A가 전체집합 U의 부분집합일 때, 집합 U에는 속하고 집합 A에는 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 U에 대한 A의 여집합이라고 하고, 이것을 기호로 A^c 와 같이 나타내고, 이것을 조건제시법으로 나타내면 A^c={x|x∈U 그리고 x∈/A (속하지 않는다)}이고, n(A^c) = n(U)-n(A)이다.
• 두 집합 A, B에 대하여 집합 A에는 속하고 집합 B에는 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 A에 대한 B의 차집합이라고 하고, 이것을 기호로 A-B와 같이 나타낸다. 집합 A에 대한 집합 B의 차집합을 조건제시법으로 나타내면 A-B={x|x∈A 그리고 x∈/B (속하지 않는다)}이고, n(A-B) = n(A)-n(A∩B)이다. 이 때 A-B와 B-A는 다르다.