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안녕하세요? 이 페이지에서는 미분계수에 대한 강의를 할 것입니다. 미분계수를 이해하기 위해서는 평균 변화율의 개념을 먼저 이해해야 합니다. 그럼, 아래를 보세요. 바로 이것!
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
어떤 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
f
(
b
)
{\displaystyle f(b)}
x
{\displaystyle x}
b
−
a
{\displaystyle b-a}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
f
(
b
)
−
f
(
a
)
{\displaystyle f(b)-f(a)}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
Δ
x
,
Δ
y
{\displaystyle \Delta x,\;\Delta y}
평균변화율이란,
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
Δ
y
Δ
x
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
=
f
(
a
+
Δ
x
)
−
f
(
a
)
Δ
x
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}={\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}}
f
(
a
+
Δ
x
)
−
f
(
a
)
Δ
x
{\displaystyle {\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}}
b
−
a
=
Δ
x
{\displaystyle b-a=\Delta x}
b
=
a
+
Δ
x
{\displaystyle b=a+\Delta x}
어디서 많이 본 형태가 아닌가요?
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
그렇죠. 직선의 기울기 에서 본 적이 있지 않나요? 즉, 평균변화율은
(
a
,
f
(
a
)
)
,
(
b
,
f
(
b
)
)
{\displaystyle (a,\;f(a)),\;(b,\;f(b))}
직선의 기울기 가 됩니다.
바로 위에서 평균변화율에 대해서 배웠었지요?
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
무한대 로 갈까요?
예를 들면 가장 빠를 것입니다.
y
=
x
3
{\displaystyle y=x^{3}}
1
≤
x
≤
1
+
Δ
x
{\displaystyle 1\leq x\leq 1+\Delta x}
f
(
1
+
Δ
x
)
−
f
(
1
)
1
+
Δ
x
−
1
=
(
1
+
Δ
x
)
3
−
1
3
Δ
x
=
(
Δ
x
)
2
+
3
(
Δ
x
)
+
3
{\displaystyle {\frac {f(1+\Delta x)-f(1)}{1+\Delta x-1}}={\frac {(1+\Delta x)^{3}-1^{3}}{\Delta x}}=(\Delta x)^{2}+3(\Delta x)+3}
그럼
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
미분계수, 접선의 기울기
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
(
Δ
x
)
2
+
3
(
Δ
x
)
+
3
=
3
{\displaystyle {\underset {\Delta {x}\rightarrow {0}}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\underset {\Delta {x}\rightarrow {0}}{\lim }}(\Delta x)^{2}+3(\Delta x)+3=3}
구간
a
≤
x
≤
a
+
Δ
x
{\displaystyle a\leq x\leq {a}+\Delta {x}}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Δ
y
Δ
x
{\displaystyle {\frac {\Delta {y}}{\Delta {x}}}}
Δ
x
→
0
{\displaystyle \Delta {x}\rightarrow {0}}
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
a
+
Δ
x
)
−
f
(
a
)
Δ
x
{\displaystyle {\underset {\Delta {x}\rightarrow {0}}{\lim }}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\underset {\Delta {x}\rightarrow {0}}{\lim }}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}}
의 값이 존재할 경우, 이 값을 함수
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
미분계수 또는 순간변화율 이라고 합니다. 왜 순간변화율인지는 아시겠지요? 평균변화율에서
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
a
{\displaystyle a}
f
′
(
a
)
{\displaystyle f'(a)}
d
d
x
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
접선의 기울기 와 같아지게 됩니다.
