포털:고등학교/수학/수학 II/미분법:1회차

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  • 안녕하세요? 이 페이지에서는 미분계수에 대한 강의를 할 것입니다. 미분계수를 이해하기 위해서는 평균 변화율의 개념을 먼저 이해해야 합니다. 그럼, 아래를 보세요.

평균변화율?[편집]

바로 이것! 증분, 증분, 기울기

어떤 함수 에 대해서, 의 값이 에서 까지 변하면, 함숫값은 에서 까지 변하게 됩니다. 이때 값의 변화량, 즉 변화량, 또는 의 증분이라고 합니다. 그렇다면 값의 변화량, 변화량 또는 의 증분이라고 하겠지요? 이들을 기호로 각각 로 나타냅니다. '델타'라고 읽으면 됩니다.

평균변화율이란, 변화량에 대한 변화량의 비를 나타낸 것입니다. 즉, 아래와 같습니다.

는 뭐냐구요? 이니까 도 성립하죠!

평균변화율의 기하학적 의미[편집]

어디서 많이 본 형태가 아닌가요? 증가량/증가량...? :)

그렇죠. 직선의 기울기에서 본 적이 있지 않나요? 즉, 평균변화율은 의 두 점을 지나는 직선의 기울기가 됩니다.

미분계수?[편집]

바로 위에서 평균변화율에 대해서 배웠었지요? 라구요. 그럼 여러분, 생각을 한번 해 봅시다. 를 0에 한없이 가깝게 만들면 어떻게 될까요? 무한대로 갈까요?

예를 들면 가장 빠를 것입니다. 라는 함수가 있다고 합시다. 그럼, 에서의 평균변화율을 구하면,

가 되죠.

그럼 를 0으로 한없이 보내면,

미분계수, 접선의 기울기

이 됩니다.


자, 그럼 이제 다음으로 넘어가 봅시다.

구간 에서의 함수 의 평균변화율 에서 으로 한없이 보낼 때, 즉 극한값

의 값이 존재할 경우, 이 값을 함수 에서의 미분계수 또는 순간변화율이라고 합니다. 왜 순간변화율인지는 아시겠지요? 평균변화율에서 를 0으로 한없이 보내면, 탁! 라는 점에서의 변화율이 되는 것이지요. :) 기호로는 로 나타낸답니다. 읽으실 때엔 '에프 프라임 에이'와 같이 읽으면 됩니다. 꼴도 미분을 나타내는 표현이니 알아두세요.

미분계수의 기하학적 의미[편집]

라는 점에서 에 한없이 가까워지는 점과 기울기를 이루는 것이죠? 결국 점 에서 기울기를 나타내는 것과 마찬가지가 되겠네요. 이것은 에서의 접선의 기울기와 같아지게 됩니다.

정리[편집]

함수 에서

  • 평균변화율 (직선의 기울기)

  • 미분계수 (순간변화율, 접선의 기울기)

  • 접선의 기울기

위의 점 에서의 접선의 기울기이다.