포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2009 개정)/다항식의 연산

반갑습니다.

다항식의 연산 부분은 앞으로 수학에 있어서 매우 기초적인 부분이므로 반드시 짚고 가야 합니다.

이 부분에서는 다항식의 사칙 연산에 대해 다룰 것입니다.

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식에서 사용되는 용어

먼저 다항식에서 사용되는 용어들에 대해서 알아보도록 합시다.

단항식 : 숫자와 문자, 문자와 문자의 곱으로만 이루어진 식을 말합니다. (예 : $2 x, x^{2}$ 등)
다항식 : 단항식 또는 단항식의 합으로 이루어진 식을 말합니다. 여기에는 단항식도 포함됩니다. (예 : $x^{2} - 4 x + 5$ 등)
항 : 다항식에 포함된 각각의 단항식들을 말합니다. (예 : $x^{2} - 4 x + 5$ 에서 $x^{2}, - 4 x, 5$ 가 해당)
계수 : 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분을 말합니다. (예 : $- 4 x$ 에서 $- 4$ 가 해당)
항의 차수 : 하나의 항에서 문자가 곱해진 개수를 말합니다. (예 : $x^{3}$ 의 차수는 3)
다항식의 차수 : 다항식에 속한 여러 항들 중 가장 차수가 높은 항의 차수를 말합니다. (예 : $x^{2} - 4 x + 5$ 의 차수는 2)
상수항 : 특정한 문자를 포함하지 않는 항을 말합니다. (예 : $x^{2} - 4 x + 5$ 에서 5)
동류항 : 문자와 차수가 같은 항을 말합니다. (예 : $2 x^{2} y$ 와 $7 x^{2} y$ , $4 a^{3} b^{2}$ 과 $a^{3} b^{2}$ 등)

다항식의 정리

다항식과 관련해서 계산을 하다 보면, 종종 여러 차수의 항들이 섞여 식을 이해하기 힘든 경우가 종종 생깁니다.

이러한 사태에 대비해서 다항식은 아래의 두 가지 방법으로 정리할 수 있습니다.

내림차순 : 다항식을 한 문자에 대해 차수가 높은 항부터 낮아지는 차례로 정리하는 방식을 말합니다. (예 : $x^{2} - 3 x y + 5 y^{2} - 2 x + 4 y - 2$ 를 x에 대해 내림차순으로 정리하면 $x^{2} - (3 x + 2) x + (5 y^{2} + 4 y - 2)$ 가 됨)
오름차순 : 다항식을 한 문자에 대해 차수가 낮은 항부터 높아지는 차례로 정리하는 방식을 말합니다. (예 : $x^{2} - 3 x y + 5 y^{2} - 2 x + 4 y - 2$ 를 y에 대해 오름차순으로 정리하면 $(x^{2} - 2 x - 2) - (3 x - 4) y + 5 y^{2}$ 가 됨)

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은, 먼저 식에 괄호가 있을 경우에는 괄호를 분배법칙으로 풀어준 다음, 각 항을 동류항끼리 더하거나 빼주면 됩니다.

예 : $(3 x^{2} - x + 2) + (x^{2} + x - 3) = 3 x^{2} - x + 2 + x^{2} + x - 3 = 4 x^{2} - 1$

또한 다항식의 덧셈에는 교환법칙과 결합법칙이 성립합니다.

교환법칙 : $A + B = B + A$
결합법칙 : $(A + B) + C = A + (B + C)$

그럼 이어서 다항식의 사칙연산 중 곱셈에 대해 알아보도록 합시다.

다항식의 곱셈과 나눗셈

지수법칙

단항식과 단항식 간의 곱셈은 지수법칙을 통해 간단히 할 수 있습니다.

아래의 법칙들에는 $a, b$ 는 실수이고 $m . n$ 은 자연수라는 조건이 붙습니다.

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$
${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$
${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$
${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $(b \neq 0)$
$a^{m} \div a^{n} = \frac{a^{m}}{a^{n}} = {\begin{matrix} a^{m - n} & (m > n) \\ 1 & (m = n) \\ \frac{1}{a^{n - m}} & (m < n) \end{matrix}$

다항식의 곱셈

다항식의 곱을 계산할때는 먼저 분배법칙과 지수법칙을 통해 식을 전개한 후 동류항끼리 모아서 식을 간단히 합니다.

예 : $(a + b + c) (x + y + z) = a x + a y + a z + b x + b y + b z + c x + c y + c z$

또한 다항식의 곱셈에서도 역시 교환법칙과 결합법칙이 성립하며, 분배법칙도 성립합니다.

교환법칙 : $A B = B A$
결합법칙 : $(A B) C = A (B C)$
분배법칙 : $A (B + C) = A B + A C$

곱셈 공식

위와 같이 다항식의 곱셈을 하다 보니, 수학자들은 여러 경우를 일반화시켜 곱셈 공식을 만들어냈습니다.

이 곱셈 공식은 뒤에서도 요긴하게 쓰일 것이니 반드시 알고 가야 합니다.

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$
$(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$
$(x + a) (x + b) (x + c) = x^{3} + (a + b + c) x^{2} + (a b + b c + c a) + a b c$
$(x - a) (x - b) (x - c) = x^{3} - (a + b + c) x^{2} + (a b + b c + c a) - a b c$
${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$
$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$
$(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$
$(a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$

곱셈 공식의 변형

위의 곱셈 공식을 알아내고, 이 공식들을 조금씩 변형해서 필요한 식을 구해내는 공식이 생겼습니다. 이 공식들도 한번 알아보도록 하겠습니다.

$a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2} + 2 a b$
${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b$
$a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b)$
$a^{3} - b^{3} = {(a - b)}^{3} + 3 a b (a - b)$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = {(x + \frac{1}{x})}^{3} - 3 (x + \frac{1}{x})$
${(x - \frac{1}{x})}^{2} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 4$
$a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(a + b + c)}^{2} - 2 (a b + b c + c a)$
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} {{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}}$
$a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b + b c + c a = \frac{1}{2} {{(a + b)}^{2} + {(b + c)}^{2} + {(c + a)}^{2}}$
$a^{3} + b^{3} + c^{3} = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) + 3 a b c$

다항식의 나눗셈

다항식과 단항식의 나눗셈의 경우에는 다항식의 각 항을 주어진 단항식으로 나눠주면 됩니다.

예 : $(6 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) \div 3 x = \frac{6 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x}{3 x} = \frac{6 x^{3}}{3 x} - \frac{3 x^{2}}{3 x} + \frac{9 x}{3 x} = 2 x^{2} - x + 3$

다항식과 다항식의 나눗셈은 두 다항식을 내림차순으로 정리한 후 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작을 때까지 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 직접 나누어주면 됩니다.

이 때, 다항식 $A$ 를 다항식 $B$ 로 나눈 몫이 $Q$ 이고, 나머지가 $R$ 일 때, $A = B Q + R$ (단, $B$ 의 차수가 $R$ 의 차수보다 큽니다.)의 형식으로 나타낼 수 있습니다.

다음에는 항등식과 나머지정리에 대해 알아보도록 합시다.