포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/행렬과 그 연산

행렬의 뜻

두 다항식 $A=2x^{2}-5x-3,\ B=y-1$은 다음과 같이 계수만을 직사각형 모양으로 나타낼 수 있습니다.

${\begin{matrix}2&-5&-3\\0&1&-1\end{matrix}}$

이때 계수를 가로로 배열한 줄은 위에서부터 차례로 다항식 $A,B$를 나타내고, 계수를 세로로 배열한 줄에 있는 수는 왼쪽에서부터 차례로 해당되는 다항식의 이차항, 일차항, 상수항의 계수입니다.

또 ${\mbox{A}},{\mbox{B}}$ 두 과일 가게에서 판매되는 사과 10 kg의 가격이 각각 22000원, 24000원이고, 배 10 kg의 가격이 각각 25000원, 27500원일 때, 이것을 다음과 같이 과일 가격을 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶어 나타낼 수 있습니다.

${\begin{pmatrix}22000&24000\\25000&27500\end{pmatrix}}$

이와 같이 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라고 하며, 행렬을 이루는 각각의 수 또는 문자를 그 행렬의 성분이라고 합니다.

행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라고 하며, 위에서부터 차례로 제1행, 제2행, 제3행, ⋯이라고 합니다. 또 성분을 세로로 배열한 줄을 열이라고 하며, 왼쪽에서부터 차례로 제1열, 제2열, 제3열, ⋯이라고 합니다.

한편 $m$개의 행과 $n$개의 열로 이루어진 행렬을 $m\times n$ 행렬이라고 합니다. 특히 행의 개수와 열의 개수가 서로 같은 행렬을 정사각행렬이라고 하며, $n\times n$ 행렬을 $n$차 정사각행렬이라고 합니다.

행렬은 알파벳 대문자 $A,B,C,\cdots$로 나타내고, 행렬의 성분은 알파벳 소문자 $a,b,c,\cdots$로 나타냅니다. 또 행렬 $A$에서 제$i$행과 제$j$열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 $A$의 $(i,j)$ 성분이라고 하며, 이것을 기호로

$a_{ij}$

와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $2\times 3$ 행렬 $A$를 기호 $a_{ij}$를 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}$

두 행렬 $A,B$의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, $A$와 $B$는 같은 꼴이라고 합니다. 같은 꼴인 두 행렬 $A,B$의 대응하는 성분이 각각 같을 때, $A$와 $B$는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로

$A=B$

와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬이 서로 같을 조건은 다음과 같습니다.

두 행렬이 서로 같을 조건 $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$일 때, $A=B\Leftrightarrow {\begin{cases}a_{11}=b_{11},&a_{12}=b_{12}\\a_{21}=b_{21},&a_{22}=b_{22}\end{cases}}$

행렬의 덧셈, 뺄셈의 뜻과 그 연산

같은 꼴인 두 행렬 $A,B$에 대하여 $A$와 $B$의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행렬을 $A$와 $B$의 합이라고 하며, 이것을 기호로

$A+B$

와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.

행렬의 덧셈 $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$일 때, $A+B={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}}$

실수의 덧셈에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하는 것과 마찬가지로, 행렬의 덧셈에서도 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑴ 같은 꼴인 세 행렬 $A,B,C$에 대하여 ① $A+B=B+A$  (교환법칙) ② $(A+B)+C=A+(B+C)$  (결합법칙)

모든 성분이 $0$인 행렬을 영행렬이라고 합니다. 예를 들어

${\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

은 모두 영행렬입니다. 영행렬은 각 꼴에 대하여 하나씩 있으나, 혼동의 염려가 없을 때에는 보통 기호 $O$로 나타냅니다. 행렬 $A$와 영행렬 $O$가 같은 꼴일 때,

$A+O=O+A=A$

가 성립함을 알 수 있습니다. 즉 영행렬은 같은 꼴의 행렬의 집합에서 덧셈에 대한 항등원입니다. 또 행렬 $A$의 모든 성분의 부호를 바꾼 행렬을 $-A$와 같이 나타냅니다. 예를 들어

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$일 때, $-A={\begin{pmatrix}-a_{11}&-a_{12}\\-a_{21}&-a_{22}\end{pmatrix}}$

입니다. 이때 행렬의 덧셈의 정의에 의하여 행렬 $A$와 영행렬 $O$가 같은 꼴일 때,

$A+(-A)=(-A)+A=O$

가 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 행렬 $-A$는 같은 꼴의 행렬의 집합에서 행렬 $A$의 덧셈에 대한 역원입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑵ 같은 꼴인 행렬 $A$와 영행렬 $O$에 대하여 ③ $A+O=O+A=A$  ($O$는 덧셈에 대한 항등원) ④ $A+(-A)=(-A)+A=O$  ($-A$는 $A$의 덧셈에 대한 역원)

같은 꼴의 두 행렬 $A,B$에 대하여 $A$에 $B$의 덧셈에 대한 역원 $-B$를 더한 $A+(-B)$를 기호로

$A-B$

와 같이 나타내고, 이것을 행렬 $A$에서 행렬 $B$를 뺀 차라고 합니다. 이때 $A-B$는 행렬 $A$의 각 성분에서 그에 대응하는 행렬 $B$의 성분을 뺀 차를 성분으로 하는 행렬임을 알 수 있습니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 뺄셈은 다음과 같습니다.

행렬의 뺄셈 $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$일 때, $A-B={\begin{pmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\end{pmatrix}}$

한편 같은 꼴의 세 행렬 $A,B,X$에 대하여

$X+A=B$

가 성립할 때, 이 등식의 양변에 행렬 $A$의 덧셈의 역원 $-A$를 더하여 간단히 하면 다음 결과를 얻습니다.

${\begin{aligned}X+A=B&\Leftrightarrow X+A+(-A)=B+(-A)\\&\Leftrightarrow X+O=B-A\\&\Leftrightarrow X=B-A\end{aligned}}$

따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식은 다항식의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식과 같이 이항을 이용하여 계산할 수 있습니다.

행렬의 실수배의 뜻과 그 연산

임의의 실수 $k$에 대하여 행렬 $A$의 각 성분을 $k$배한 것을 성분으로 하는 행렬을 행렬 $A$의 $k$배라고 하며, 이것을 기호로 $kA$와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 실수배는 다음과 같습니다.

행렬의 실수배 $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$와 실수 $k$에 대하여 $kA={\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}\\ka_{21}&ka_{22}\end{pmatrix}}$

행렬 $A$와 영행렬 $O$가 같은 꼴이고 $k$가 실수일 때, 행렬의 실수배의 정의에 의하여 다음이 성립함을 알 수 있습니다.

$1A=A,\ (-1)A=A,\ 0A=O,\ kO=O$

행렬의 실수배에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 실수배에 대한 성질 같은 꼴의 두 행렬 $A,B$와 두 실수 $k,l$에 대하여 ① $(kl)A=k(lA)$ ② $(k+l)A=kA+lA,\ k(A+B)=kA+kB$

행렬의 곱셈의 뜻과 그 연산

두 행렬 $A,B$에 대하여 행렬 $A$의 열의 개수와 행렬 $B$의 행의 개수가 같을 때, 행렬 $A$의 제$i$행의 성분과 행렬 $B$의 제$j$열의 성분을 각각 차례로 곱하여 더한 값을 $(i,j)$ 성분으로 하는 행렬을 두 행렬 $A,B$의 곱이라고 하며, 이것을 기호로

$AB$

와 같이 나타냅니다. 이때 행렬 $A$가 $m\times l$ 행렬이고 행렬 $B$가 $l\times n$ 행렬이면 행렬 $AB$는 $m\times n$ 행렬입니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.

행렬의 곱셈 $A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$일 때, $AB={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}}$

한편 수의 거듭제곱과 마찬가지로 정사각행렬 $A$에 대하여

$A^{2}=AA,\ A^{3}=A^{2}A,\ A^{4}=A^{3}A,\ \cdots ,\ A^{n+1}=A^{n}A$

와 같이 행렬의 거듭제곱을 정의합니다.

두 실수 $a,b$에 대하여 교환법칙 $ab=ba$가 성립함을 알고 있습니다. 그러나 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}2&3\\-4&1\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}0&-1\\2&1\end{pmatrix}}$에 대하여

$AB={\begin{pmatrix}6&1\\2&5\end{pmatrix}},\ BA={\begin{pmatrix}4&-1\\0&7\end{pmatrix}}$

이므로 :$AB\neq BA$입니다. 즉 행렬의 곱셈에서는 실수의 곱셈에서와는 달리 교환법칙이 성립하지 않습니다.

행렬의 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 곱셈에 대한 성질 합과 곱이 정의되는 세 행렬 $A,B,C$와 실수 $k$에 대하여 ① $(AB)C=A(BC)$  (결합법칙) ② $A(B+C)=AB+AC$  (분배법칙) ③ $k(AB)=(kA)B=A(kB)$

두 행렬 $A,B$에 대하여

$(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}$

입니다. 그런데 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않으므로 어떤 두 행렬 $A,B$에 대하여

$(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}$

입니다.

정사각행렬 $A$와 같은 꼴의 영행렬 $O$에 대하여

$AO=OA=A$

가 성립합니다. 그러나 같은 꼴의 정사각행렬 $A,B$에 대하여

$A\neq O,\ B\neq O$이지만 $AB=O$

인 경우가 있습니다. 예를 들어 $A={\begin{pmatrix}2&3\\-4&-6\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}9&-3\\-6&2\end{pmatrix}}$일 때, $A\neq O,\ B\neq O$이지만 $AB=O$입니다.

단위행렬의 뜻

실수의 집합에서 곱셈에 대한 항등원은 $1$입니다. 행렬의 집합에서 이와 같은 역할을 하는 행렬에 대하여 알아보겠습니다.

정사각행렬 중에서

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

과 같이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위의 성분은 모두 $1$이고, 그 외의 성분은 모두 $0$인 정사각행렬을 단위행렬이라고 하며, 보통 기호 $E$로 나타냅니다.

두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$와 $E={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$에 대하여

$AE={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=A,$

$EA={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=A$

이므로 $AE=EA=A$가 성립함을 알 수 있습니다.

$E$가 $n$차 단위행렬일 때, 임의의 $n$차 정사각행렬 $A$에 대하여

$AE=EA=A$

가 성립합니다. 따라서 $n$차 단위행렬 $E$는 $n$차 정사각행렬의 집합에서 곱셈에 대한 항등원입니다.

역행렬의 뜻

실수의 연산에서 $0$이 아닌 임의의 실수 $a$에 대하여

$ax=xa=1$

을 만족시키는 실수 $x={\frac {1}{a}}$을 $a$의 곱셈에 대한 역원임을 알고 있습니다.

한편 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}-1&4\\1&-3\end{pmatrix}}$에 대하여

$AB={\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&4\\1&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=E,$

$BA={\begin{pmatrix}-1&4\\1&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=E$

이므로 $AB$와 $BA$를 계산한 결과가 모두 단위행렬 $E$임을 알 수 있습니다.

이와 같이 같은 꼴의 정사각행렬 $A$와 단위행렬 $E$에 대하여

$AX=XA=E$

를 만족시키는 행렬 $X$가 존재할 때, $X$를 $A$의 역행렬이라고 하며, 이것을 기호로

$A^{-1}$

와 같이 나타냅니다. 이때 역행렬의 정의에 의하여 다음이 성립합니다.

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

이차 정사각행렬의 역행렬

이차 정사각행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건과 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$의 역행렬 $X={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$를 가진다고 가정하면 $AX=E$이므로

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

입니다. 따라서 두 행렬이 서로 같을 조건으로부터 다음 두 연립방정식을 얻습니다.

${\begin{cases}ax+bz=1\ &\cdots \cdots \left(1\right)\\cx+dz=0&\cdots \cdots \left(2\right)\end{cases}},\ {\begin{cases}ay+bw=0\ &\cdots \cdots \left(3\right)\\cy+dw=1&\cdots \cdots \left(4\right)\end{cases}}$

$\left(1\right),\left(2\right)$에서

$(ad-bc)x=d\ \cdots \cdots \left(5\right),\ (ad-bc)z=-c\ \cdots \cdots \left(6\right)$

$\left(3\right),\left(4\right)$에서

$(ad-bc)y=-b\ \cdots \cdots \left(7\right),\ (ad-bc)w=a\ \cdots \cdots \left(8\right)$

그런데 $ad-bc=0$이면 $\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right),\left(8\right)$에서 $a=b=c=d=0$이므로 $A=O$가 되어 $AX=E$일 수 없습니다. 따라서 $ad-bc\neq 0$입니다. 이때 $\left(5\right),\left(6\right),\left(7\right),\left(8\right)$에서

$x={\frac {d}{ad-bc}},\ y={\frac {-b}{ad-bc}},\ z={\frac {-c}{ad-bc}},\ w={\frac {a}{ad-bc}}$

입니다. 따라서 행렬 $A$의 역행렬 $X$는 다음과 같습니다.

$X={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

역으로 $ad-bc\neq 0$이면 행렬 $X={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$에 대하여 $AX=XA=E$이므로, 행렬 $X$는 행렬 $A$의 역행렬입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

이차 정사각행렬의 역행렬 행렬 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$에 대하여 ① $ad-bc\neq 0$일 때, $A$의 역행렬이 존재하고 $A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$ ② $ad-bc=0$일 때, $A$의 역행렬이 존재하지 않습니다.

정사각행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$가 존재할 때,

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

이므로 $A^{-1}$의 역행렬이 $A$임을 알 수 있습니다. 즉

$(A^{-1})^{-1}=A$

입니다. 또 두 정사각행렬 $A,B$의 역행렬 $A^{-1},B^{-1}$가 존재할 때,

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=AA^{-1}=E$

$(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(AA^{-1})B=AEA^{-1}=B^{-1}B=E$

이므로 $AB$의 역행렬이 $B^{-1}A^{-1}$임을 알 수 있습니다. 즉

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

역행렬의 성질 두 정사각행렬 $A,B$의 역행렬 $A^{-1},B^{-1}$가 존재할 때, ① $(A^{-1})^{-1}=A$ ② $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$