포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/행렬과 그 연산

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행렬의 뜻[편집]

두 다항식 은 다음과 같이 계수만을 직사각형 모양으로 나타낼 수 있습니다.

이때 계수를 가로로 배열한 줄은 위에서부터 차례로 다항식 를 나타내고, 계수를 세로로 배열한 줄에 있는 수는 왼쪽에서부터 차례로 해당되는 다항식의 이차항, 일차항, 상수항의 계수입니다.

두 과일 가게에서 판매되는 사과 10 kg의 가격이 각각 22000원, 24000원이고, 배 10 kg의 가격이 각각 25000원, 27500원일 때, 이것을 다음과 같이 과일 가격을 직사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶어 나타낼 수 있습니다.

이와 같이 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라고 하며, 행렬을 이루는 각각의 수 또는 문자를 그 행렬의 성분이라고 합니다.[1][2]

행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 이라고 하며, 위에서부터 차례로 제1행, 제2행, 제3행, ⋯이라고 합니다. 또 성분을 세로로 배열한 줄을 이라고 하며, 왼쪽에서부터 차례로 제1열, 제2열, 제3열, ⋯이라고 합니다.[3]

한편 개의 행과 개의 열로 이루어진 행렬을 행렬이라고 합니다.[4] 특히 행의 개수와 열의 개수가 서로 같은 행렬을 정사각행렬이라고 하며, 행렬을 차 정사각행렬이라고 합니다.[5]

행렬은 알파벳 대문자 로 나타내고, 행렬의 성분은 알파벳 소문자 로 나타냅니다. 또 행렬 에서 제행과 제열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 성분이라고 하며, 이것을 기호로

와 같이 나타냅니다. 예를 들어 행렬 를 기호 를 사용하여 나타내면 다음과 같습니다.


두 행렬 의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, 는 같은 꼴이라고 합니다. 같은 꼴인 두 행렬 의 대응하는 성분이 각각 같을 때, 는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로

와 같이 나타냅니다.[6] 예를 들어 행렬이 서로 같을 조건은 다음과 같습니다.[7]


두 행렬이 서로 같을 조건

일 때,

행렬의 덧셈, 뺄셈의 뜻과 그 연산[편집]

같은 꼴인 두 행렬 에 대하여 의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행렬을 의 합이라고 하며, 이것을 기호로

와 같이 나타냅니다.[8] 예를 들어 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.[9]


행렬의 덧셈

일 때,


실수의 덧셈에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하는 것과 마찬가지로, 행렬의 덧셈에서도 다음과 같은 성질이 성립합니다.


행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑴

같은 꼴인 세 행렬 에 대하여

 (교환법칙)
 (결합법칙)[10]


모든 성분이 인 행렬을 영행렬이라고 합니다.[11] 예를 들어

은 모두 영행렬입니다. 영행렬은 각 꼴에 대하여 하나씩 있으나, 혼동의 염려가 없을 때에는 보통 기호 로 나타냅니다. 행렬 와 영행렬 가 같은 꼴일 때,

가 성립함을 알 수 있습니다. 즉 영행렬은 같은 꼴의 행렬의 집합에서 덧셈에 대한 항등원입니다. 또 행렬 의 모든 성분의 부호를 바꾼 행렬을 와 같이 나타냅니다. 예를 들어

일 때, 

입니다. 이때 행렬의 덧셈의 정의에 의하여 행렬 와 영행렬 가 같은 꼴일 때,

가 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 행렬 는 같은 꼴의 행렬의 집합에서 행렬 의 덧셈에 대한 역원입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.


행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑵

같은 꼴인 행렬 와 영행렬 에 대하여

 (는 덧셈에 대한 항등원)
 (의 덧셈에 대한 역원)


같은 꼴의 두 행렬 에 대하여 의 덧셈에 대한 역원 를 더한 를 기호로

와 같이 나타내고, 이것을 행렬 에서 행렬 를 뺀 차라고 합니다.[12][13] 이때 는 행렬 의 각 성분에서 그에 대응하는 행렬 의 성분을 뺀 차를 성분으로 하는 행렬임을 알 수 있습니다. 예를 들어 행렬의 뺄셈은 다음과 같습니다.[14]


행렬의 뺄셈

일 때,


한편 같은 꼴의 세 행렬 에 대하여

가 성립할 때, 이 등식의 양변에 행렬 의 덧셈의 역원 를 더하여 간단히 하면 다음 결과를 얻습니다.[15]

따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식은 다항식의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식과 같이 이항을 이용하여 계산할 수 있습니다.

행렬의 실수배의 뜻과 그 연산[편집]

임의의 실수 에 대하여 행렬 의 각 성분을 배한 것을 성분으로 하는 행렬을 행렬 배라고 하며, 이것을 기호로 와 같이 나타냅니다. 예를 들어 행렬의 실수배는 다음과 같습니다.[16]


행렬의 실수배

와 실수 에 대하여 


행렬 와 영행렬 가 같은 꼴이고 가 실수일 때, 행렬의 실수배의 정의에 의하여 다음이 성립함을 알 수 있습니다.[17]


행렬의 실수배에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.


행렬의 실수배에 대한 성질

같은 꼴의 두 행렬 와 두 실수 에 대하여


행렬의 곱셈의 뜻과 그 연산[편집]

두 행렬 에 대하여 행렬 의 열의 개수와 행렬 의 행의 개수가 같을 때, 행렬 의 제행의 성분과 행렬 의 제열의 성분을 각각 차례로 곱하여 더한 값을 성분으로 하는 행렬을 두 행렬 의 곱이라고 하며, 이것을 기호로

와 같이 나타냅니다.[18] 이때 행렬 행렬이고 행렬 행렬이면 행렬 행렬입니다. 예를 들어 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.[19]


행렬의 곱셈

일 때,


한편 수의 거듭제곱과 마찬가지로 정사각행렬 에 대하여

와 같이 행렬의 거듭제곱을 정의합니다.[20][21][22]

두 실수 에 대하여 교환법칙 가 성립함을 알고 있습니다. 그러나 두 행렬 에 대하여

이므로 :입니다. 즉 행렬의 곱셈에서는 실수의 곱셈에서와는 달리 교환법칙이 성립하지 않습니다.

행렬의 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.


행렬의 곱셈에 대한 성질

합과 곱이 정의되는 세 행렬 와 실수 에 대하여

 (결합법칙)[23]
 (분배법칙)


두 행렬 에 대하여

입니다.[24] 그런데 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않으므로 어떤 두 행렬 에 대하여

입니다.

정사각행렬 와 같은 꼴의 영행렬 에 대하여

가 성립합니다.[25] 그러나 같은 꼴의 정사각행렬 에 대하여

이지만

인 경우가 있습니다.[26] 예를 들어 일 때, 이지만 입니다.

단위행렬의 뜻[편집]

실수의 집합에서 곱셈에 대한 항등원은 입니다. 행렬의 집합에서 이와 같은 역할을 하는 행렬에 대하여 알아보겠습니다.

정사각행렬 중에서

과 같이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위의 성분은 모두 이고, 그 외의 성분은 모두 인 정사각행렬을 단위행렬이라고 하며, 보통 기호 로 나타냅니다.[27][28][29]

두 행렬 에 대하여

이므로 가 성립함을 알 수 있습니다.

차 단위행렬일 때, 임의의 차 정사각행렬 에 대하여

가 성립합니다. 따라서 차 단위행렬 차 정사각행렬의 집합에서 곱셈에 대한 항등원입니다.[30][31]

역행렬의 뜻[편집]

실수의 연산에서 이 아닌 임의의 실수 에 대하여

을 만족시키는 실수 의 곱셈에 대한 역원임을 알고 있습니다.

한편 두 행렬 에 대하여

이므로 를 계산한 결과가 모두 단위행렬 임을 알 수 있습니다.

이와 같이 같은 꼴의 정사각행렬 와 단위행렬 에 대하여

를 만족시키는 행렬 가 존재할 때, 역행렬이라고 하며, 이것을 기호로

와 같이 나타냅니다.[32][33] 이때 역행렬의 정의에 의하여 다음이 성립합니다.[34]

이차 정사각행렬의 역행렬[편집]

이차 정사각행렬 의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건과 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

행렬 의 역행렬 를 가진다고 가정하면 이므로

입니다. 따라서 두 행렬이 서로 같을 조건으로부터 다음 두 연립방정식을 얻습니다.

에서

에서

그런데 이면 에서 이므로 가 되어 일 수 없습니다. 따라서 입니다. 이때 에서

입니다. 따라서 행렬 의 역행렬 는 다음과 같습니다.

역으로 이면 행렬 에 대하여 이므로, 행렬 는 행렬 의 역행렬입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.


이차 정사각행렬의 역행렬

행렬 에 대하여

일 때, 의 역행렬이 존재하고

일 때, 의 역행렬이 존재하지 않습니다.


정사각행렬 의 역행렬 가 존재할 때,

이므로 의 역행렬이 임을 알 수 있습니다. 즉

입니다. 또 두 정사각행렬 의 역행렬 가 존재할 때,

이므로 의 역행렬이 임을 알 수 있습니다. 즉

입니다.[35][36]

이상을 정리하면 다음과 같습니다.[37][38][39]


역행렬의 성질

두 정사각행렬 의 역행렬 가 존재할 때,

참고[편집]

  1. 행렬(行列)을 영어로 matrix, 성분(成分)을 영어로 entry라고 합니다.
  2. 여기서는 행렬의 성분이 실수인 경우만 다루기로 합니다.
  3. 행(行)을 영어로 row, 열(列)을 영어로 column이라고 합니다.
  4. 행렬은 ' by 행렬'이라고 읽습니다.
  5. 정사각행렬(正四角行列)을 영어로 square matrix라고 합니다.
  6. 두 행렬 가 서로 같지 않을 때, 이것을 기호로 와 같이 나타냅니다.
  7. 두 행렬 가 같을 꼴일 때,
  8. 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 덧셈은 정의되지 않습니다.
  9. 두 행렬 가 같을 꼴일 때,
  10. 행렬의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로 를 괄호를 사용하지 않고
    와 같이 나타내기도 합니다.
  11. 영행렬(零行列)을 영어로 zero matrix라고 합니다.
  12. 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 뺄셈은 정의되지 않습니다.
  13. 두 실수 에 대하여
  14. 두 행렬 가 같을 꼴일 때,
  15. 가 실수일 때,
  16. 이고 가 실수일 때,
  17. 실수 에 대하여
  18. 두 행렬 의 곱 는 행렬 의 열의 개수와 행렬 의 행의 개수가 같을 때에만 정의됩니다.
  19. 두 행렬 이고 일 때,
  20. 입니다.
  21. 행렬의 곱셈의 정의에 의하여 가 정사각행렬일 때에만 행렬의 거듭제곱 이 정의됨을 알 수 있습니다.
  22. 임의의 자연수 에 대하여
  23. 행렬의 곱셈에서 결합법칙이 성립하므로 를 괄호를 사용하지 않고
    와 같이 나타내기도 합니다.
  24. 두 행렬 에 대하여
  25. 실수 에 대하여
  26. 두 실수 에 대하여
  27. 단위행렬(單位行列)을 영어로 unit matrix라고 하며, 기호 로 나타내기도 합니다.
  28. 은 각각 이차, 삼차 단위행렬입니다.
  29. 행렬 가 단위행렬일 때,
  30. 임의의 자연수 에 대하여
  31. 행렬 에 대하여 다음 등식이 성립합니다.
    위의 등식을 케일리-해밀턴 정리라고 합니다. 케일리-해밀턴 정리는 정사각행렬 에 대하여 (은 자연수, 는 실수)의 꼴로 나타내는 데에 편리합니다.
  32. 역행렬(逆行列)을 영어로 inverse matrix라고 합니다. 또 는 '의 역행렬' 또는 ' inverse'라고 읽습니다.
  33. 여기서는 역행렬을 행렬인 경우만 다루기로 합니다.
  34. 단위행렬 에 대하여 이므로
  35. 임에 유의하시기 바랍니다.
  36. 세 정사각행렬 의 역행렬 가 모두 존재할 때,
  37. 역행렬이 존재하는 정사각행렬 와 임의의 자연수 에 대하여
  38. 역행렬이 존재하는 정사각행렬 이 아닌 임의의 실수 에 대하여
  39. 역행렬이 존재하는 두 정사각행렬 와 임의의 자연수 에 대하여