포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/이차 정사각행렬의 역행렬

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학습 목표: 이차 정사각행렬의 역행렬을 구할 수 있다.

이차 정사각행렬의 역행렬[편집]

이차 정사각행렬 의 역행렬이 존재하기 위한 필요충분조건과 그 역행렬을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

행렬 의 역행렬 를 가진다고 가정하면 이므로

입니다. 따라서 두 행렬이 서로 같을 조건으로부터 다음 두 연립방정식을 얻습니다.

에서

에서

그런데 이면 에서 이므로 가 되어 일 수 없습니다. 따라서 입니다. 이때 에서

입니다. 따라서 행렬 의 역행렬 는 다음과 같습니다.

역으로 이면 행렬 에 대하여 이므로, 행렬 는 행렬 의 역행렬입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.


이차 정사각행렬의 역행렬

행렬 에 대하여

일 때, 의 역행렬이 존재하고

일 때, 의 역행렬이 존재하지 않습니다.


정사각행렬 의 역행렬 가 존재할 때,

이므로 의 역행렬이 임을 알 수 있습니다. 즉

입니다. 또 두 정사각행렬 의 역행렬 가 존재할 때,

이므로 의 역행렬이 임을 알 수 있습니다. 즉

입니다.[1][2]

이상을 정리하면 다음과 같습니다.[3][4][5]


역행렬의 성질

두 정사각행렬 의 역행렬 가 존재할 때,


참고[편집]

  1. 임에 유의하시기 바랍니다.
  2. 세 정사각행렬 의 역행렬 가 모두 존재할 때,
  3. 역행렬이 존재하는 정사각행렬 와 임의의 자연수 에 대하여
  4. 역행렬이 존재하는 정사각행렬 이 아닌 임의의 실수 에 대하여
  5. 역행렬이 존재하는 두 정사각행렬 와 임의의 자연수 에 대하여