포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/역행렬의 뜻

위키배움터
둘러보기로 이동 검색으로 이동
자료 정보
Face-smile-big.svg 진행 상황: 이 자료는 완성되었거나 거의 완성 단계에 있습니다.
Books-aj.svg aj ashton 01b.svg 교육 수준: 이 자료는 고등학교 강의 수준의 자료입니다.
38254-new folder-12.svg 자료 형식: 이 자료는 문서형식의 자료입니다.
Nuvola mimetypes kformula kfo.png 과목 정보: 이 자료는 수학 과목의 자료입니다.

학습 목표: 두 행렬의 곱이 단위행렬이 되는 경우를 찾아보고, 역행렬의 뜻을 안다.

단위행렬의 뜻[편집]

실수의 집합에서 곱셈에 대한 항등원은 입니다. 행렬의 집합에서 이와 같은 역할을 하는 행렬에 대하여 알아보겠습니다.

정사각행렬 중에서

과 같이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위의 성분은 모두 이고, 그 외의 성분은 모두 인 정사각행렬을 단위행렬이라고 하며, 보통 기호 로 나타냅니다.[1][2][3]

두 행렬 에 대하여

이므로 가 성립함을 알 수 있습니다.

차 단위행렬일 때, 임의의 차 정사각행렬 에 대하여

가 성립합니다. 따라서 차 단위행렬 차 정사각행렬의 집합에서 곱셈에 대한 항등원입니다.[4][5]

역행렬의 뜻[편집]

실수의 연산에서 이 아닌 임의의 실수 에 대하여

을 만족시키는 실수 의 곱셈에 대한 역원임을 알고 있습니다.

한편 두 행렬 에 대하여

이므로 를 계산한 결과가 모두 단위행렬 임을 알 수 있습니다.

이와 같이 같은 꼴의 정사각행렬 와 단위행렬 에 대하여

를 만족시키는 행렬 가 존재할 때, 역행렬이라고 하며, 이것을 기호로

와 같이 나타냅니다.[6][7] 이때 역행렬의 정의에 의하여 다음이 성립합니다.[8]

참고[편집]

  1. 단위행렬(單位行列)을 영어로 unit matrix라고 하며, 기호 로 나타내기도 합니다.
  2. 은 각각 이차, 삼차 단위행렬입니다.
  3. 행렬 가 단위행렬일 때,
  4. 임의의 자연수 에 대하여
  5. 행렬 에 대하여 다음 등식이 성립합니다.
    위의 등식을 케일리-해밀턴 정리라고 합니다. 케일리-해밀턴 정리는 정사각행렬 에 대하여 (은 자연수, 는 실수)의 꼴로 나타내는 데에 편리합니다.
  6. 역행렬(逆行列)을 영어로 inverse matrix라고 합니다. 또 는 '의 역행렬' 또는 ' inverse'라고 읽습니다.
  7. 여기서는 역행렬을 행렬인 경우만 다루기로 합니다.
  8. 단위행렬 에 대하여 이므로