포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/역행렬의 뜻

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학습 목표: 두 행렬의 곱이 단위행렬이 되는 경우를 찾아보고, 역행렬의 뜻을 안다.

단위행렬의 뜻

실수의 집합에서 곱셈에 대한 항등원은 $1$입니다. 행렬의 집합에서 이와 같은 역할을 하는 행렬에 대하여 알아보겠습니다.

정사각행렬 중에서

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

과 같이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선 위의 성분은 모두 $1$이고, 그 외의 성분은 모두 $0$인 정사각행렬을 단위행렬이라고 하며, 보통 기호 $E$로 나타냅니다.

두 행렬 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$와 $E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$에 대하여

$AE=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=A,$

$EA=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=A$

이므로 $AE=EA=A$가 성립함을 알 수 있습니다.

$E$가 $n$차 단위행렬일 때, 임의의 $n$차 정사각행렬 $A$에 대하여

$AE=EA=A$

가 성립합니다. 따라서 $n$차 단위행렬 $E$는 $n$차 정사각행렬의 집합에서 곱셈에 대한 항등원입니다.

역행렬의 뜻

실수의 연산에서 $0$이 아닌 임의의 실수 $a$에 대하여

$ax=xa=1$

을 만족시키는 실수 $x=\frac{1}{a}$을 $a$의 곱셈에 대한 역원임을 알고 있습니다.

한편 두 행렬 $A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 1& -3\end{array}\right)$에 대하여

$AB=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E,$

$BA=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 1& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E$

이므로 $AB$와 $BA$를 계산한 결과가 모두 단위행렬 $E$임을 알 수 있습니다.

이와 같이 같은 꼴의 정사각행렬 $A$와 단위행렬 $E$에 대하여

$AX=XA=E$

를 만족시키는 행렬 $X$가 존재할 때, $X$를 $A$의 역행렬이라고 하며, 이것을 기호로

$A^{-1}$

와 같이 나타냅니다. 이때 역행렬의 정의에 의하여 다음이 성립합니다.

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$