포털:고등학교/수학/기하와 벡터

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일차변환과 행렬[편집]

  • 일차변환
  • 역변환

이차곡선[편집]

포물선[편집]

포물선의 방정식[편집]

  • 포물선의 정의
평면 위의 한 정점 F와 점 F를 지나지 않는 한 정직선 l이 주어질 때, 점 F와 직선 l에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선 이라 한다.
이 때, 정점 F를 포물선의 초점, 정직선 l을 포물선의 준선, 초점 F를 지나고 준선l에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축의 교점을 포물선의 꼭지점이라 한다.
  • 포물선의 방정식(표준형)
(1) y2=4px (단, p≠0)
a. 초점 F(p,0)
b. 준선 x=-p
c. 축 y=0 (x축)
d. 꼭지점 (0,0)
(2) x2=4py (단, p≠0)
a. 초점 F(0,p)
b. 준선 y=-p
c. 축 x=0 (y축)
d. 꼭지점 (0,0)

포물선의 평행이동[편집]

  • 포물선의 평행이동
(1) 포물선 y2=4px를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 (y-n)2=4p(x-m)
(2) 포물선 x2=4py를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 (x-m)2=4p(y-n)
  • 포물선의 방정식(일반형)
(1) x축에 평행한 축을 가진 포물선의 방정식 y2 + Ax + By + C = 0
(2) y축에 평행한 축을 가진 포물선의 방정식 x2 + Ax + By + C = 0

포물선과 직선[편집]

  • 포물선과 직선의 위치관계
포물선의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 x에 대한 이차방정식(또는 y에 대한 이차방정식)의 판별식을 D라 할 때, D의 부호에 따른 포물선과 직선의 위치 관계는
다음과 같다. (단, 주어진 직선이 포물선의 축과 평행한 직선인 경우는 제외)
a. D>0 ↔ x가 서로 다른 두 실근을 가진다 ↔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
b. D=0 ↔ x가 중근을 갖는다 ↔ 한 점에서 만난다(접한다)
c. D<0 ↔ x가 서로 다른 두 허근을 갖는다 ↔ 서로 만나지 않는다


타원[편집]

  • 타원의 방정식
  • 타원과 직선의 위치 관계

쌍곡선[편집]

  • 쌍곡선의 방정식
  • 쌍곡선의 점근선
  • 쌍곡선과 직선의 위치 관계

공간도형과 좌표공간[편집]

공간도형[편집]

평면의 결정조건[편집]

1. 공간도형의 기본성질
 a. 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나 존재한다.
 b. 한 평면 위의 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 이 평면에 포함된다.
 c. 한 점을 공유하는 서로 다른 두 평면은 그 점을 지나는 한 직선을 공유한다.
2. 평면의 결정조건
 a. 한 직선 위에 있지 않은 세 점
 b. 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점
 c. 한 점에서 만나는 두 직선
 d. 평행한 두 직선

직선, 평면의 위치 관계[편집]

1. 서로 다른 두 직선의 위치 관계
 a. 한점에서 만난다.
 b. 평행하다. 
 c. 꼬인 위치에 있다.
2. 직선과 평면의 위치 관계
 a. 한 점에서 만난다.
 b. 직선이 평면에 포함된다.
 c. 평행하다
3. 서로 다른 두 평면의 위치 관계
 a. 만난다.
 b. 평행하다

직선, 평면의 수직[편집]

1. 꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각과 수직 관계
 두 직선 l, m 이 꼬인 위치에 있는 경우에는 직선 l을 직선 m과 한 점에서 만나도록 평행이동시켜 각을 잰다. 즉, 평행이동한 직선 l’m이 이루는 각을 두 직선 
l, m이 이루는 각으로 정한다. 이 때, 두 직선 l, m이 이루는 각의 크기가 90°이면 두 직선 l, m 은 서로 수직이라 하고 기호로 lm과 같이 나타낸다.
2. 직선과 평면이 이루는 각과 수직 관계
(1) 직선 l이 평면 α위의 모든 직선과 수직이면 직선 l은 평면 α와 수직이라 하고, 기호로 lㅗα와 같이 나타낸다. 이때, 직선 l을 평면 α의 수선이라 한다.
(2) 직선 l이 평면 α와 만나는 점을 O, 직선 l위의 임의의 점 A에서 평면 α에 내린 수선의 발을 B라 할 때, 각 AOB를 직선 l과 평면 α가 이루는 각으로 정한다.
3. 두평면이 이루는 각과 수직 관계
(1) 직선 l을 공유하는 두 반평면 γ, δ로 이루어진 도형을 이면각이라 한다. 이때, 직선 l을 이면각의 변, 두 반평면 γ, δ를 이면각의 면이라고 한다.
(2) 이면각의 변 l위의 임의의 한 점 O를 지나고 l에 수직인 두 반직선 OA, OB를 반평면 γ, δ위에 각각 그릴때, 각 AOB를 이면각의 크기라고 한다.
(3) 한 교선에서 만나는 두 평면 α, β에 대하여 4개의 이면각을 생각할 수 있는데, 이 중 한 이면각을 두 평면 α, β가 이루는 각으로 정한다. 이때, 두 평면 
α, β가 이루는 각의 크기가 90°이면 두 평면 α, β는 서로 수직이라 하고, 기호로 αㅗβ와 같이 나타낸다.

삼수선 정리[편집]

정사영[편집]

1. 정사영의 정의
(1) 점의 정사영 : 평면 α위에 있지 않은 한 점 P에서 평면 α에 내린 수선의 발을 P'라 할 때, 점 P'을 점 P의 평면 α위로의 정사영이라고 한다.
(2) 도형의 정사영 : 도형 F에 속하는 각 점의 평면 α위로의 정사영으로 이루어진 도형 F'을 도형 F의 평면α위로의 정사영이라고 한다.
2. 정사영의 길이와 넓이
(1) 정사영의 길이
선분 AB의 평면α위로의 정사영을 선분 A'B'이라 하고, 직선 AB와 평면 α가 이루는 각의 크기를 Θ라 하면 (선분 A'B'의 길이)=(선분 AB의 길이)cosΘ
(2) 정사영의 넓이
평면β위에 있는 도형의 넓이를 S, 이 도형의 평면 α위로의 정사영의 넓이를 S'이라 하고, 두 평면 α,β가 이루는 각의 크기를 Θ라 하면 S'=ScosΘ

공간좌표[편집]

벡터[편집]

  • 벡터
  • 벡터의 연산
  • 단위벡터
  • 영벡터
  • 벡터의 내적
  • 직선과 평면의 방정식