토목기사 요약/측량학/측량학 일반

출제기준

2019-2021

• 측량 기준 및 오차
  • 측지학 개요
  • 좌표계와 측량원점
  • 측량의 오차와 정밀도
• 국가기준점
  • 국가기준점 개요
  • 국가기준점 현황

측량의 분류

측지측량(대지측량) vs 평면측량(소지측량)의 구분

정도 ♣♣♣

${\frac {d-D}{D}}={\frac {1}{12}}\left({\frac {D}{r}}\right)^{2}$

10^-6을 기준으로 나눔.

반경 11km이내(면적 380km²)는 평면으로 간주(14-3) 위 식의 우변이 10^-6과 같다고 놓고 r = 6370km 대입하면 나옴.

96 기출

지구상의 50km 떨어진 두 점의 거리를 측정할 때 지구를 평면으로 보았다. 거리오차는?

풀이

거리오차가 ${\frac {d-D}{D}}={\frac {1}{12}}\left({\frac {D}{r}}\right)^{2}$가 아니다. 거리오차는 $d-D={\frac {1}{12}}\left({\frac {D}{r}}\right)^{2}D$다!!

계산하면 답은 0.257m

측지측량(대지측량)

14-2, 16-2

지구의 곡률을 고려한 정밀한 측량으로 측량 지역의 넓은 곳에 사용. 지구상 모든 점의 정밀한 위치 또는 지구의 형상과 크기를 구하는 측량.

05

• 기하학적 측지학 : 지구 및 천체에 대한 점들간의 상호 위치관계를 정하는 것
  • 측지학적 3차원 위치 결정
  • 길이 및 시간의 결정
  • 수평 위치 결정
  • 높이 결정
  • 천문 측량
  • 위성 측지
  • 하해 측지
  • 면체적 산정
  • 지도제작(지도학)
  • 사진측량
• 물리학적 측지학 : 지구 내부 특성, 지구 형태, 운동을 해석하는 것
  • 지구 형상 해석
  • 중력 측정
  • 지자기 측정
  • 탄성파 측정
  • 지구 극운동, 자전운동
  • 지각변동 및 균형
  • 지구의 열
  • 대륙의 부동
  • 해양의 조류
  • 지구 조석

지구 물리 측정

지자기 측정의 3요소(12-3)

1. 편각 : 지자기의 방향과 자오선이 이루는 각
2. 복각 : 지자기의 방향과 수평면이 이루는 각
3. 수평분력 : 수평면 내에서 지자기장의 크기.

탄성파(지진파) 측정(98, 14-3)

• 굴절법(refraction) : 지표면으로부터 낮은 곳 측정
• 반사법(reflection) : 지표면으로부터 깊은 곳 측정

85, 04 기출

• 중력 이상이 +이면 그 지점 부근에 무거운 물질이 있는 것
• 중력 실측값 - 중력식 계산값 = 중력 이상

측량원점

평면직각좌표 원점

남북 X축, 동서 Y축

14-1

	서부원점	중부원점	동부원점	동해원점
경도	동경 125도	동경 127도	동경 129도	동경 131도
위도	북위 38도

UTM 좌표(Universal Transverse Mercator Coordinate System)

• 적도를 횡축, 자오선을 종축으로 하는 국제적인 평면 직각좌표
• 지구 전체를 회전타원체로 간주
• 지도 투영의 적용범위 : 남, 북위 80도까지 큰 위도 지역은 평사투영법 사용.
• 경도 : 동경 180도 기준, 지구 전체를 6도 간격으로 60등분(04)
• 위도 : 적도에서 8도 간격으로 20등분
• 대한민국 : 51 및 52 지대에 해당(04)
• 자오선에 대하여 원추도법의 횡 Mercator법 적용
• 중앙 자오선 축척계수 0.9996 (93 03, 08, 09, 12)
• 경도의 원점은 중앙자오선에 있다.
• 위도의 원점은 적도상에 있다.

지구의 형상

12-3

측지선: 타원체 상 2점 연결하는 최단거리 선

• 두 개의 평면곡선을 2:1로 분할하는 성질이 있음.
• 평면곡선과 차이가 거의 없어 실무에서 무시.
• 측지선은 계산에 의해서만 결정.

99 기출

• 항정선: 자오선과 항상 일정 각도를 유지하는 지표의 선
• 라플라스 점: 삼각 측량, 천문 측량이 함께 실시되는 기준점

타원체

• 대한민국에서 공식적으로 사용하는 지구 타원체 형상은 GRS80 타원체다.(01)

실제 지구랑 가장 비슷한 회전타원체?(99)

• 지구타원체

지구 형상을 수학적으로 정의한 것은?(14-2)

• 회전타원체

어느 국가에 기준으로 채택한 타원체는?(14-2)

• 준거타원체

98, 00, 02

측량 원점에서 평균 곡률반경(삼축반경의 산술평균)

${\frac {2a+b}{3}}$

편심률(이심률)

$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$

편평률

$P={\frac {a-b}{a}}=1-{\sqrt {1-e^{2}}}$

---

횡곡률반경

$N={\frac {a}{W}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}$

자오선 곡률반경

${\begin{aligned}M&=N\cdot {\frac {1-e^{2}}{W^{2}}}\\&={\frac {a}{W}}{\frac {1-e^{2}}{W^{2}}}\\&={\frac {a(1-e^{2})}{W^{3}}}\end{aligned}}$

중등곡률반경

$R={\sqrt {M\cdot N}}$

---

참고 서적

• 최용기 외 (2015). 〈측량학 개론〉. 《토목기사 필기 측량학》. 성안당. 
• James Stewart. 〈매개변수 방정식과 극좌표〉. 《미분적분학》 6판. Cengage Learning. 

경위도

02

지구 상의 임의 점에서 지표면에 수직선이 적도면과 이루는 각. 지구는 회전 타원체이므로 지표면에 대한 수직선이 반드시 지구 중심을 지난다고 할 수 없다.

• 지리 위도

지구 상 임의 점에서 적도면과 표준타원체의 법선이 이루는 각. 2015년 기준 대한민국에서는 이것을 위도로 사용.(14-2)

• 측지 위도

지구 자전축과 지구 상의 한 지점에서의 중력 방향(연직선)이 만나는 각도의 여각. 흔히 적도면과 연직선 방향(지오이드 법선)이 만드는 각도라고 정의.

• 천문 위도

천문위도와 측지위도는 무엇때문에 값이 약간 다른가?

• 연직선 편차

지구 상의 어느 한 지점과 지구 중심을 연결하는 직선이 적도면과 이루는 각도.

• 지심 위도

측지위도(β)는 지구 상의 어느 지점에서 적도면과 표준타원체의 법선이 이루는 각이다. 지심위도(β, γ)는 지구 상의 어느 지점과 지구 중심을 연결하는 직선이 적도면과 이루는 각도이다.

지오이드

14-2, 17-4, 19-2

• 지오이드란 해양에서는 평균 해면과 일치하는 것, 육지에서는 평균해면을 육지가 없는 것으로 생각하고 연장시킨 것. 즉 지구가 육지가 없는 해양면으로만 되어 있다고 생각하면 그 평균해면이 지오이드가 됨.
• 지오이드는 도처에 중력방향이 이 면에 수직이며 평균해수면과 일치하는 등포텐셜면으로 일종의 수면이라 할 수 있다.
• 지오이드 상 중력포텐셜은 어느곳에서나 0으로 같고 중력이 작용하는 방향선을 연직선이라고 하면 지오이드는 연직선에 직교.
• 지오이드는 내부 밀도 분포에 따라 기복이 생김.
• 지구 현재 모양을 가장 근사하게 표현한 것임.

03, 17-4

• 준거타원체와 거의 일치.
• 실제 지오이드면은 굴곡이 심해 측지측량의 기준으로 할 수 없음.

04

• 수준측량은 지오이드면을 표고 0으로 하여 측정.

96

• 평균해수면과 일치

---

• 연직선 편차 : 지구타원체 법선과 지오이드 법선 간 차이(17-4)

구과량

04, 05, 14-1, 14-2

$\epsilon ''={\frac {A_{s}}{R^{2}}}\rho ''$

한변의 길이가 20km 이상일 때 n각형 내각의 합은 180(n - 2)보다 반드시 크게 나타난다. 구과량이란 구면 삼각형의 내각의 합이 180 + 구과량이 되는 것이다.

오차의 종류

♣♣♣ 14-3 등등

정오차 또는 누차(누적오차)

• 오차 발생 원인이 확실하여 일정한 크기와 일정한 방향에 발생하는 오차로 측량 후 조정이 가능. 측정을 되풀이하면 이 오차는 쌓여서 커진다.
• 정오차 $=n\cdot \delta$ (정오차는 측정횟수에 비례)
  • n : 측정(관측 횟수)
  • δ : 1회 관측에 대한 누적오차

우연오차(부정오차)

오차 발생 원인이 명확하지 않고 오차 제거가 어려우며, 최소제곱법으로 오차가 보정됨. 오차론에서 다루는 오차는 우연오차(87, 13-2)

♣♣♣13-1, 14-1, 15-3

$\pm \delta {\sqrt {n}}$ (우연오차는 측정횟수의 제곱근에 비례)

• n : 측정(관측)횟수
• δ : 우연오차

---

92, 97, 98, 04

어떤 각을 12회 관측한 결과 ±0.5초의 평균제곱근 오차를 얻었다고 할 때 같은 정확도로 ±0.3초 평균 제곱근 오차를 얻으려면 몇 회 관측해야할까?

---

풀이

우연오차 $\pm \delta {\sqrt {n}}$

$0.5{\sqrt {12}}=0.3{\sqrt {n}}$

n=34

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90, 92, 19-2

50m 스틸 테이프로 측선 1450m를 측정했다. 50m에 대해 ±30mm의 오차가 생길 때 전체 길이를 측정하면 얼마의 오차가 생기는가?

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풀이

우연오차$=\pm \delta {\sqrt {n}}=\pm 30{\sqrt {\frac {1450}{50}}}=\pm 161.55mm$

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91, 93, 96, 97, 99, 02, 13-2, 19-3

80m를 20m 줄자로 측정하였고 1회 당 +5mm의 누적오차, ±5mm의 우연오차가 생길 때 정확한 거리는?

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풀이

n=4. 누적오차 = nδ = 0.02m, 우연오차$=\pm \delta {\sqrt {n}}=\pm 0.01m$

정확한 거리 = 측정 거리 + 누적오차 ± 우연오차 = 80 + 0.02 ± 0.01 = 80.02 ± 0.01

과실(과오)

• 측정자의 부주의에 의해 발생하는 오차
• 원인 : 기록 및 계산의 착오, 눈금 읽기의 착오, 측침의 이동, 측정 횟수의 오차 등이 있다.

오차의 3대 법칙

1. 매우 작은 크기의 오차는 큰 오차보다 발생할 확률이 높다.
2. 같은 크기의 정(+)오차는 부(-) 오차와 발생 확률이 같다.
3. 매우 큰 오차는 거의 발생하지 않는다.

거리측량 정오차 보정

경사보정

식 유도는 다음을 w:이항 정리로 전개함. 그냥 외울 것.

${\begin{aligned}L_{0}={\sqrt {L^{2}-h^{2}}}&={\sqrt {L^{2}\left(1-{\frac {h^{2}}{L^{2}}}\right)}}\\&=L\left(1-{\frac {h^{2}}{L^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

♣♣♣

보정량 $C_{i}=-{\frac {h^{2}}{2L}}$

정확한 거리 $L_{0}=L-{\frac {h^{2}}{2L}}$

---

86

사거리 50m에 대해 경사보정이 1cm가 되는 비고는?

---

풀이

경사 보정량 = $C_{i}=-{\frac {h^{2}}{2L}}$

$h={\sqrt {C_{i}\cdot 2L}}={\sqrt {0.01m\cdot 2\cdot 50m}}=1.0m$

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91

1/5000 정밀도 거리측량에서 사거리를 수평거리로 취급해도 되는 경사도 한계는?

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풀이

${\text{정 도 }}={\frac {\text{오 차 }}{\text{거 리 }}}={\frac {\frac {h^{2}}{2L}}{L}}={\frac {h^{2}}{2L^{2}}}={\frac {1}{5000}}$

$\sin \theta ={\frac {h}{L}}$

$\sin ^{2}\theta ={\frac {h^{2}}{L^{2}}}$

${\frac {\sin ^{2}\theta }{2}}={\frac {1}{5000}}$

$\theta =\sin ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{5000}}}=1^{\circ }8'45.57''$

---

16-4

1/5000 정확도를 요구하는 50m 거리 측량에서 경사거리를 측정해도 허용되는 두 점간 최대 높이차는?

---

${\frac {1}{5000}}={\frac {\frac {h^{2}}{2L}}{L}}={\frac {\frac {h^{2}}{2\times 50m}}{50m}}$

h = 1m

평균해수면 보정

90, 15-1, 16-1, 16-2 ♣♣♣

인장 보정까지 끝난 거리 L'은 평균해수면으로부터 H만큼 높은 곳에 있는 지표면상의 거리이다. 따라서 기준면인 평균해수면상의 거리로 바꿔주어야 한다. 이를 표고보정량이라고도 하며, 항상 기준면상에서의 거리가 지표면상에서의 거리보다 작으므로 보정량 C_h(Correction for height)는 음수(-)이다. 닮음비와 이항 정리를 이용하여 보정량을 구하면 다음과 같다.

$C_{h}=-{\frac {L'H}{R}}$

따라서 표고보정까지 마친 기준면상의 거리 $L_{0}=L'+C_{h}$이다.

관측값 처리

최확치

♣♣♣

13-1, 14-3, 19-2, 19-3

A, B 두 점간 고저차를 1, 2, 3코스로 측량했다. 두 점 간 고저차는?

코스	측정 결과(m)	거리(km)
1	23.234	4
2	23.245	2
3	23.240	2

풀이

경중률은 측정 거리에 반비례. $P_{1}:P_{2}:P_{3}={\frac {1}{S_{1}}}:{\frac {1}{S_{2}}}:{\frac {1}{S_{3}}}=1:2:2$

최확값 = ${\frac {1\times 23.234+2\times 23.245+2\times 23.240}{1+2+2}}=23.241m$

---

99, 13-1

A, B, C, D 네 사람이 같은 두 지점간 거리를 10회씩 측정한 결과가 다음과 같았다면 가장 신뢰성이 높은 측정자는?

• A : 165.864±0.002
• B : 165.867±0.006
• C : 165.862±0.007
• D : 165.864±0.004

---

관측치에 대한 평균제곱근 오차의 경중률은 평균제곱근 오차의 제곱에 반비례함을 이용!!

$P_{1}:P_{2}:P_{3}:P_{4}={\frac {1}{{m_{1}}^{2}}}:{\frac {1}{{m_{2}}^{2}}}:{\frac {1}{{m_{3}}^{2}}}:{\frac {1}{{m_{4}}^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}:{\frac {1}{6^{2}}}:{\frac {1}{7^{2}}}:{\frac {1}{4^{2}}}$

$L_{0}={\frac {\sum Pl}{\sum P}}=165.864m$

따라서 A가 가장 신뢰성이 높은 측정자다.

표준편차

= 제곱근 오차

18-3

${\sqrt {\frac {\Sigma \nu ^{2}}{n-1}}}$

• 표준편차는 각과 거리같은 1차원의 경우에 대한 정밀도 척도이다.(17-4)

평균 제곱근 오차

= 제곱 평균 제곱근 오차= 표준오차

${\frac {\text{표 준 편 차 }}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {\Sigma \nu ^{2}}{n(n-1)}}}$

확률오차

84, 96

두 지점 간 거리를 3회 관측한 결과 잔차 제곱의 합이 0.00000458m²라고 할 때 50% 확률오차는?

풀이

$\pm 0.6745{\sqrt {\frac {\Sigma v^{2}}{n(n-1)}}}=\pm 0.00059m$

• 평균 제곱근 오차는 밀도 함수 전체의 68.26% 범위이다.(95)

정도

02

줄자로 20m를 측정했을 때 정오차가 +2mm였다. 200m를 측정했을 때 정확도는?

---

풀이

n = 10. 10×2mm = 20mm = 0.020m

정도 = 오차 / 총 거리 = 0.02 / 200 = 1 / 10000

오차의 전파

측정값을 가지고 계산을 하는 경우, 측정값에 포함되어 있는 오차가 계산값에도 포함되게 되는데 이를 오차의 전파(error propagation)라고 한다.

정오차 전파

일차인 선형 함수 $y=f(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})$에 대하여, $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}$의 오차를 $dx_{1},dx_{2},dx_{3},\cdots ,dx_{n}$이라고 하자. 이때 y에 전파되는 정오차 dy는 다음과 같이 구한다.

$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+{\frac {\partial y}{\partial x_{3}}}dx_{3}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}$

우연오차 전파

14-3, 15-3

관측값 x가 서로 독립일 때, 함수 $y=f(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n})$에 대하여, $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}$의 오차를 $\sigma _{x_{1}},\sigma _{x_{2}},\sigma _{x_{3}},\cdots ,\sigma _{x_{n}}$이라고 하자. 이때 y에 전파되는 우연오차 σ_y는

${\sigma _{y}}^{\color {red}2}=\left({\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\right)^{\color {red}2}{\sigma _{x_{1}}}^{\color {red}2}+\left({\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}\right)^{\color {red}2}{\sigma _{x_{2}}}^{\color {red}2}+\left({\frac {\partial y}{\partial x_{3}}}\right)^{\color {red}2}{\sigma _{x_{3}}}^{\color {red}2}+\cdots +\left({\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\right)^{\color {red}2}{\sigma _{x_{n}}}^{\color {red}2}$

---

99

어떤 기선을 4 구간으로 나누어 측정했을 때 각 구간에 대한 표준오차는 0.0014, 0.0012, 0.0015, 0.0015m였다. 전 거리에 대한 표준오차는?

---

오차 전파 법칙 사용.

$M_{0}=\pm {\sqrt {{m_{1}}^{2}+{m_{2}}^{2}+{m_{3}}^{2}+{m_{4}}^{2}}}=\pm 0.00281m$

---

87, 99, 18-1, 18-3

장방형 두 변을 측정해 x₁=25m, x₂=50m를 얻었다. 줄자 1m 당 평균 자승 오차는 ±3mm일 때 면적의 평균 자승 오차는?

---

풀이

$m_{1}=\pm 0.003{\sqrt {\frac {25}{1}}}=\pm 0.015m,\quad m_{2}=\pm 0.003{\sqrt {\frac {50}{1}}}=\pm 0.021m$

오차 전파 법칙을 사용한다. 면적의 평균 자승 오차 = $\pm {\sqrt {(50\times 0.015)^{2}+(25\times 0.021)^{2}}}=\pm 0.92m^{2}$

---

92, 01

n 구간을 측정할 때 1구간 당 3mm의 정오차와 ±3mm의 우연오차가 생긴다고 할 때 전 길이의 확률오차는?

---

풀이

전 길이에 대한 정오차 3n

전 길이에 대한 우연오차 $\pm 3{\sqrt {n}}$

오차 전파 법칙에 의해 확률오차는 ${\sqrt {(3n)^{2}+(3{\sqrt {n}})^{2}}}={\sqrt {9n^{2}+9n}}=3{\sqrt {n^{2}+n}}$

축척과 거리 및 면적

거리 측량의 정확도

${\frac {\text{오 차 }}{\text{관 측 거 리 }}}={\frac {1}{m}}$ ♣♣♣

대축척(Large Scale)	소축척(Small Scale)

98

50m 스틸자로 사각형 변장을 측정한 결과 가로, 세로가 30.00m였다. 스틸자의 눈금을 기선척에 비교하니 50m에 대해 1cm 늘어났다고 할 때 면적 오차는?

---

관측면적 $A=30\times 30=900m^{2}$

$L_{0}=L\pm \left(L\times {\frac {\delta }{l}}\right)=30+\left(30\times {\frac {0.01}{50}}\right)=30.006m$

실제면적 $A_{0}=L_{0}\times L_{0}=30.006\times 30.006=900.36m^{2}$

면적오차 $A_{0}-A=900.36-900=0.36m^{2}$

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85, 95, 97, 00

지상 1km² 면적을 지도상에서 4cm²으로 하려면 축척이 얼마여야할까?

풀이

1km² = 10¹⁰ cm²

축척 = ${\sqrt {\frac {4}{10^{10}}}}={\frac {2}{10^{5}}}={\frac {1}{50000}}$

---

97, 03, 04, 16-2

장방형 토지를 측정하여 37.8m, 28.9m가 나왔다. 측정한 기구의 오차가 30m에 대해 45mm라고 한다. 발생한 면적의 최대 오차는?

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풀이

${\begin{aligned}{\text{종 방 향 오 차 }}=\delta {\frac {L}{l}}&=0.045m\times {\frac {37.8m}{30m}}\\&=0.057m\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{횡 방 향 오 차 }}=\delta {\frac {L}{l}}&=\times 0.045m{\frac {28.9m}{30m}}\\&=0.043m\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\text{면 적 최 대 오 차 }}&=37.8\times 28.9m^{2}-(37.8-0.057)\times (28.9-0.043)m^{2}\\&=3.28m^{2}\\\end{aligned}}$

이렇게 해도 되고 그림 그려서 풀어도 됨. 이해하는 게 좀더 편한 것 같다.

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87, 92, 95, 97, 00, 05, 19-3

1/3000 도면을 구적기로 면적을 관측하니 2450m²이었다. 도면의 가로와 세로가 각각 1%씩 줄어있었다고 한다면 올바른 면적은 얼마인가?

풀이

$2450(1+0.01)^{2}=2499.245m^{2}=2500m^{2}$

기타

85 기출

• 위성항법 : 인공위성의 운동을 관측, 해상 위치를 구하는 것.
• 전파항법 : 전파의 직진성 또는 송수신 시간차 등을 이용하여 위치선을 구하는 것.
• 천문항법: 천구 상 위치를 이미 알고 있는 항성을 이용해 해상위치를 결정하는 것.
• 지문항법: 육지 기지점 고도 또는 방위를 이용해 해상에서 광학 측정하여 위치선을 구하는 것.

85 기출

해상에서 위치결정법에는 위성 항법, 전파 항법, 천문 항법, 지문항법, 음향항법이 있다.

98 기출

• 천문측량의 목적: 경위도 원점 결정, 연직선 편차 결정, 도서지역 위치 결정.

10, 16

전자파 거리측량(EDM) 오차에는 거리에 비례하는 오차, 거리에 비례하지 않는 오차가 있음.

참고 자료

• 최용기, 박기용 (2015). 《토목기사 필기 - 측량학》. 성안당.