토목기사 요약/측량학/측량학 일반

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출제기준[편집]

2019-2021

  • 측량 기준 및 오차
    • 측지학 개요
    • 좌표계와 측량원점
    • 측량의 오차와 정밀도
  • 국가기준점
    • 국가기준점 개요
    • 국가기준점 현황

측량의 분류[편집]

측지측량(대지측량) vs 평면측량(소지측량)의 구분[편집]

대지측량 구분.png

정도 ♣♣♣

10-6을 기준으로 나눔.

반경 11km이내(면적 380km2)는 평면으로 간주(14-3) 위 식의 우변이 10-6과 같다고 놓고 r = 6370km 대입하면 나옴.

96 기출

지구상의 50km 떨어진 두 점의 거리를 측정할 때 지구를 평면으로 보았다. 거리오차는?

풀이

거리오차가 가 아니다. 거리오차는 다!!

계산하면 답은 0.257m

측지측량(대지측량)[편집]

14-2, 16-2

지구의 곡률을 고려한 정밀한 측량으로 측량 지역의 넓은 곳에 사용. 지구상 모든 점의 정밀한 위치 또는 지구의 형상과 크기를 구하는 측량.

05

  • 기하학적 측지학 : 지구 및 천체에 대한 점들간의 상호 위치관계를 정하는 것
    • 측지학적 3차원 위치 결정
    • 길이 및 시간의 결정
    • 수평 위치 결정
    • 높이 결정
    • 천문 측량
    • 위성 측지
    • 하해 측지
    • 면체적 산정
    • 지도제작(지도학)
    • 사진측량
  • 물리학적 측지학 : 지구 내부 특성, 지구 형태, 운동을 해석하는 것
    • 지구 형상 해석
    • 중력 측정
    • 지자기 측정
    • 탄성파 측정
    • 지구 극운동, 자전운동
    • 지각변동 및 균형
    • 지구의 열
    • 대륙의 부동
    • 해양의 조류
    • 지구 조석

지구 물리 측정[편집]

지자기 측정의 3요소(12-3)

  1. 각 : 자기의 방향과 오선이 이루는 각
  2. 각 : 지자기의 방향과 수평면이 이루는 각
  3. 평분력 : 수평면 내에서 지자기장의 크기.

탄성파(지진파) 측정(98, 14-3)

  • 굴절법(refraction) : 지표면으로부터 낮은 곳 측정
  • 반사법(reflection) : 지표면으로부터 깊은 곳 측정


85, 04 기출

  • 중력 이상이 +이면 그 지점 부근에 무거운 물질이 있는 것
  • 중력 실측값 - 중력식 계산값 = 중력 이상

측량원점[편집]

평면직각좌표 원점[편집]

남북 X축, 동서 Y축

14-1

서부원점 중부원점 동부원점 동해원점
경도 동경 125 동경 127 동경 129 동경 131
위도 북위 38도

UTM 좌표[편집]

  • 적도를 횡축, 자오선을 종축으로 하는 국제적인 평면 직각좌표
  • 지구 전체를 회전타원체로 간주
  • 지도 투영의 적용범위 : 남, 북위 80도까지 큰 위도 지역은 평사투영법 사용.
  • 경도 : 동경 180도 기준, 지구 전체를 6도 간격으로 60등분(04)
  • 위도 : 적도에서 8도 간격으로 20등분
  • 대한민국 : 51 및 52 지대에 해당(04)
  • 자오선에 대하여 원추도법의 횡 Mercator법 적용
  • 중앙 자오선 축척계수 0.9996 (93 03, 08, 09, 12)
  • 경도의 원점은 중앙자오선에 있다.
  • 위도의 원점은 적도상에 있다.

지구의 형상[편집]

12-3

측지선: 타원체 상 2점 연결하는 최단거리 선

  • 두 개의 평면곡선을 2:1로 분할하는 성질이 있음.
  • 평면곡선과 차이가 거의 없어 실무에서 무시.
  • 측지선은 계산에 의해서만 결정.

99 기출

  • 항정선: 자오선과 항상 일정 각도를 유지하는 지표의 선
  • 라플라스 점: 삼각 측량, 천문 측량이 함께 실시되는 기준점

타원체[편집]

  • 대한민국에서 공식적으로 사용하는 지구 타원체 형상은 GRS80 타원체다.(01)[1][2]

실제 지구랑 가장 비슷한 회전타원체?(99)

  • 지구타원체

지구 형상을 수학적으로 정의한 것은?(14-2)

  • 회전타원체

어느 국가에 기준으로 채택한 타원체는?(14-2)

  • 준거타원체

98, 00, 02

측량 원점에서 평균 곡률반경(삼축반경의 산술평균)

편심률(이심률)

편평률


횡곡률반경

자오선 곡률반경

중등곡률반경


참고 서적

  • 최용기 외 (2015). 〈측량학 개론〉. 《토목기사 필기 측량학》. 성안당. 
  • James Stewart. 〈매개변수 방정식과 극좌표〉. 《미분적분학》 6판. Cengage Learning. 

경위도[편집]

02

지구 상의 임의 점에서 지표면에 수직선이 적도면과 이루는 각. 지구는 회전 타원체이므로 지표면에 대한 수직선이 반드시 지구 중심을 지난다고 할 수 없다.

  • 지리 위도

지구 상 임의 점에서 적도면과 표준타원체의 법선이 이루는 각. 2015년 기준 대한민국에서는 이것을 위도로 사용.(14-2)

  • 측지 위도

지구 자전축과 지구 상의 한 지점에서의 중력 방향(연직선)이 만나는 각도의 여각. 흔히 적도면과 연직선 방향(지오이드 법선)이 만드는 각도라고 정의.

  • 천문 위도

천문위도와 측지위도는 무엇때문에 값이 약간 다른가?

  • 연직선 편차

지구 상의 어느 한 지점과 지구 중심을 연결하는 직선이 적도면과 이루는 각도.

  • 지심 위도
측지위도(β)는 지구 상의 어느 지점에서 적도면과 표준타원체의 법선이 이루는 각이다. 지심위도(β, γ)는 지구 상의 어느 지점과 지구 중심을 연결하는 직선이 적도면과 이루는 각도이다.

지오이드[편집]

14-2, 17-4, 19-2

  • 지오이드란 해양에서는 평균 해면과 일치하는 것, 육지에서는 평균해면을 육지가 없는 것으로 생각하고 연장시킨 것. 즉 지구가 육지가 없는 해양면으로만 되어 있다고 생각하면 그 평균해면이 지오이드가 됨.
  • 지오이드는 도처에 중력방향이 이 면에 수직이며 평균해수면과 일치하는 등포텐셜면으로 일종의 수면이라 할 수 있다.
  • 지오이드 상 중력포텐셜은 어느곳에서나 0으로 같고[3] 중력이 작용하는 방향선을 연직선이라고 하면 지오이드는 연직선에 직교.
  • 지오이드는 내부 밀도 분포에 따라 기복이 생김.
  • 지구 현재 모양을 가장 근사하게 표현한 것임.

03, 17-4

  • 준거타원체와 거의 일치.
  • 실제 지오이드면은 굴곡이 심해 측지측량의 기준으로 할 수 없음.

04

  • 수준측량은 지오이드면을 표고 0으로 하여 측정.

96

  • 평균해수면과 일치

  • 연직선 편차 : 지구타원체 법선과 지오이드 법선 간 차이(17-4)

구과량[편집]

04, 05, 14-1, 14-2

한변의 길이가 20km 이상일 때 n각형 내각의 합은 180(n - 2)보다 반드시 크게 나타난다. 구과량이란 구면 삼각형의 내각의 합이 180 + 구과량이 되는 것이다.

오차의 종류[편집]

♣♣♣ 14-3 등등

정오차 또는 누차(누적오차)[편집]

  • 오차 발생 원인이 확실하여 일정한 크기와 일정한 방향에 발생하는 오차로 측량 후 조정이 가능. 측정을 되풀이하면 이 오차는 쌓여서 커진다.
  • 정오차 (정오차는 측정횟수에 비례)
    • n : 측정(관측 횟수)
    • δ : 1회 관측에 대한 누적오차

우연오차(부정오차)[편집]

오차 발생 원인이 명확하지 않고 오차 제거가 어려우며, 최소제곱법으로 오차가 보정됨. 오차론에서 다루는 오차는 우연오차(87, 13-2)

♣♣♣13-1, 14-1, 15-3

(우연오차는 측정횟수의 제곱근에 비례)

  • n : 측정(관측)횟수
  • δ : 우연오차

92, 97, 98, 04

어떤 각을 12회 관측한 결과 ±0.5초의 평균제곱근 오차를 얻었다고 할 때 같은 정확도로 ±0.3초 평균 제곱근 오차를 얻으려면 몇 회 관측해야할까?



풀이

우연오차

n=34


90, 92, 19-2

50m 스틸 테이프로 측선 1450m를 측정했다. 50m에 대해 ±30mm의 오차가 생길 때 전체 길이를 측정하면 얼마의 오차가 생기는가?



풀이

우연오차


91, 93, 96, 97, 99, 02, 13-2, 19-3

80m를 20m 줄자로 측정하였고 1회 당 +5mm의 누적오차, ±5mm의 우연오차가 생길 때 정확한 거리는?



풀이

n=4. 누적오차 = nδ = 0.02m, 우연오차

정확한 거리 = 측정 거리 + 누적오차 ± 우연오차 = 80 + 0.02 ± 0.01 = 80.02 ± 0.01

과실(과오)[편집]

  • 측정자의 부주의에 의해 발생하는 오차
  • 원인 : 기록 및 계산의 착오, 눈금 읽기의 착오, 측침의 이동, 측정 횟수의 오차 등이 있다.

오차의 3대 법칙[편집]

  1. 매우 작은 크기의 오차는 큰 오차보다 발생할 확률이 높다.
  2. 같은 크기의 정(+)오차는 부(-) 오차와 발생 확률이 같다.
  3. 매우 큰 오차는 거의 발생하지 않는다.

거리측량 정오차 보정[편집]

경사보정[편집]

경사보정.png

식 유도는 다음을 w:이항 정리로 전개함.[4] 그냥 외울 것.

♣♣♣

보정량

정확한 거리


86

사거리 50m에 대해 경사보정이 1cm가 되는 비고는?



풀이

경사 보정량 =



91

1/5000 정밀도 거리측량에서 사거리를 수평거리로 취급해도 되는 경사도 한계는?



풀이


16-4

1/5000 정확도를 요구하는 50m 거리 측량에서 경사거리를 측정해도 허용되는 두 점간 최대 높이차는?


h = 1m


평균해수면 보정[편집]

거리측량 표고보정.png

90, 15-1, 16-1, 16-2 ♣♣♣

인장 보정까지 끝난 거리 L'은 평균해수면으로부터 H만큼 높은 곳에 있는 지표면상의 거리이다. 따라서 기준면인 평균해수면상의 거리로 바꿔주어야 한다. 이를 표고보정량이라고도 하며, 항상 기준면상에서의 거리가 지표면상에서의 거리보다 작으므로 보정량 Ch(Correction for height)는 음수(-)이다. 닮음비와 이항 정리를 이용하여 보정량을 구하면 다음과 같다.

따라서 표고보정까지 마친 기준면상의 거리 이다.

관측값 처리[편집]

최확치[편집]

♣♣♣

13-1, 14-3, 19-2, 19-3

A, B 두 점간 고저차를 1, 2, 3코스로 측량했다. 두 점 간 고저차는?

코스 측정 결과(m) 거리(km)
1 23.234 4
2 23.245 2
3 23.240 2
풀이

경중률은 측정 거리에 반비례.

최확값 =


99, 13-1

A, B, C, D 네 사람이 같은 두 지점간 거리를 10회씩 측정한 결과가 다음과 같았다면 가장 신뢰성이 높은 측정자는?

  • A : 165.864±0.002
  • B : 165.867±0.006
  • C : 165.862±0.007
  • D : 165.864±0.004

관측치에 대한 평균제곱근 오차의 경중률은 평균제곱근 오차의 제곱에 반비례함을 이용!!

따라서 A가 가장 신뢰성이 높은 측정자다.

표준편차[편집]

= 제곱근 오차

18-3

  • 표준편차는 각과 거리같은 1차원의 경우에 대한 정밀도 척도이다.(17-4)

평균 제곱근 오차[편집]

= 제곱 평균 제곱근 오차= 표준오차

확률오차[편집]

84, 96

두 지점 간 거리를 3회 관측한 결과 잔차 제곱의 합이 0.00000458m2라고 할 때 50% 확률오차는?

풀이

  • 평균 제곱근 오차는 밀도 함수 전체의 68.26% 범위이다.(95)

정도[편집]

02

줄자로 20m를 측정했을 때 정오차가 +2mm였다. 200m를 측정했을 때 정확도는?



풀이

n = 10. 10×2mm = 20mm = 0.020m

정도 = 오차 / 총 거리 = 0.02 / 200 = 1 / 10000

오차의 전파[편집]

측정값을 가지고 계산을 하는 경우, 측정값에 포함되어 있는 오차가 계산값에도 포함되게 되는데 이를 오차의 전파(error propagation)라고 한다.

정오차 전파[편집]

일차인 선형 함수 에 대하여, 의 오차를 이라고 하자. 이때 y에 전파되는 정오차 dy는 다음과 같이 구한다.

우연오차 전파[편집]

14-3, 15-3

관측값 x가 서로 독립일 때, 함수 에 대하여, 의 오차를 이라고 하자. 이때 y에 전파되는 우연오차 σy


99

어떤 기선을 4 구간으로 나누어 측정했을 때 각 구간에 대한 표준오차는 0.0014, 0.0012, 0.0015, 0.0015m였다. 전 거리에 대한 표준오차는?


오차 전파 법칙 사용.


87, 99, 18-1, 18-3

장방형 두 변을 측정해 x1=25m, x2=50m를 얻었다. 줄자 1m 당 평균 자승 오차는 ±3mm일 때 면적의 평균 자승 오차는?


풀이

오차 전파 법칙을 사용한다. 면적의 평균 자승 오차 =


92, 01

n 구간을 측정할 때 1구간 당 3mm의 정오차와 ±3mm의 우연오차가 생긴다고 할 때 전 길이의 확률오차는?


풀이

전 길이에 대한 정오차 3n

전 길이에 대한 우연오차

오차 전파 법칙에 의해 확률오차는

축척과 거리 및 면적[편집]

거리 측량의 정확도

♣♣♣
대축척(Large Scale) 소축척(Small Scale)

98

50m 스틸자로 사각형 변장을 측정한 결과 가로, 세로가 30.00m였다. 스틸자의 눈금을 기선척에 비교하니 50m에 대해 1cm 늘어났다고 할 때 면적 오차는?


관측면적

실제면적

면적오차


85, 95, 97, 00

지상 1km2 면적을 지도상에서 4cm2으로 하려면 축척이 얼마여야할까?

풀이

1km2 = 1010 cm2

축척 =



97, 03, 04, 16-2

장방형 토지를 측정하여 37.8m, 28.9m가 나왔다. 측정한 기구의 오차가 30m에 대해 45mm라고 한다. 발생한 면적의 최대 오차는?



풀이

이렇게 해도 되고 그림 그려서 풀어도 됨. 이해하는 게 좀더 편한 것 같다.



87, 92, 95, 97, 00, 05, 19-3

1/3000 도면을 구적기로 면적을 관측하니 2450m2이었다. 도면의 가로와 세로가 각각 1%씩 줄어있었다고 한다면 올바른 면적은 얼마인가?

풀이

기타[편집]

85 기출

  • 위성항법 : 인공위성의 운동을 관측, 해상 위치를 구하는 것.
  • 전파항법 : 전파의 직진성 또는 송수신 시간차 등을 이용하여 위치선을 구하는 것.
  • 천문항법: 천구 상 위치를 이미 알고 있는 항성을 이용해 해상위치를 결정하는 것.
  • 지문항법: 육지 기지점 고도 또는 방위를 이용해 해상에서 광학 측정하여 위치선을 구하는 것.

85 기출

해상에서 위치결정법에는 위성 항법, 전파 항법, 천문 항법, 지문항법, 음향항법이 있다.

98 기출

  • 천문측량의 목적: 경위도 원점 결정, 연직선 편차 결정, 도서지역 위치 결정.

10, 16

전자파 거리측량(EDM) 오차에는 거리에 비례하는 오차, 거리에 비례하지 않는 오차가 있음.

각주[편집]

  1. 최용기 외, <<토목기사 필기 과년도 - 측량학>>(2015), 성안당, 1 - 14
  2. 오재홍 (2017). 《알기쉬운 GPS 측량》. 구미서관. 31쪽. 
  3. 최용기, 박기용 (2015). 《토목기사 필기 측량학》. 성안당. A-115쪽. 
  4. 이재기 외 (2013). 《측량학1》. 형설출판사. 121쪽. 

참고 자료[편집]

  • 최용기, 박기용 (2015). 《토목기사 필기 - 측량학》. 성안당.