콘크리트 응력은 중립축에서 거리에 비례하지 않음. 변형률은 비례(80)
콘크리트 압축 연단 최대 변형률은 0.003 (99)
14-2, 19-2, 19-3 종합적인 이해
연성파괴 : 인장철근이 약해서 파괴되는 것
취성파괴 : 압축측 콘크리트가 약해서 파괴되는 것. 철근량이 많은 경우 철근 항복 전에 콘크리트 변형률이 극한변형률 0.003에 도달하여 파괴 시 변형이 생기지 크게 생기지 않고 갑자기 콘크리트의 파괴를 일으킨다. 이런 파괴를 취성파괴, 압축파괴라 한다. 취성 파괴는 위험을 예측할 수 없을 뿐만 아니라, 철근 재료 특성인 항복강도와 연성을 활용하지 못해 비경제적인 설계가 되게 한다.
균형보 (평형보, balanced beam)
보의 취성파괴는 사고에 대한 안전 대책을 세울 시간 없이 갑자기 일어나므로 이를 방지하기 위해 철근 사용량을 규제해야 함. 이 한계의 철근비를 균형철근비 (balanced steel ratio) 또는 평형 철근비 라 함. 철근이 항복함과 동시에 콘크리트의 압축변형률이 0.003에 도달할 때의 철근비가 균형철근비임.
균형철근비를 쓴 보를 균형보 , 평형보 라 함. 이때의 철근량은 균형철근량 , 평형 철근량
과소 철근보 : 균형철근비보다 철근을 적게 넣어 연성파괴가 일어나게 한 보. 중립축이 압축부쪽으로 이동.
과다 철근보 : 균형철근비보다 철근을 많이 넣어 취성파괴가 일어나게 한 보. 중립축이 인장부쪽으로 이동.
90
ρ
=
A
s
b
⋅
d
{\displaystyle \rho ={\frac {A_{s}}{b\cdot d}}}
♣♣♣균형보의 중립축 위치(89, 94, 95, 96, 99, 19-3)
c
b
=
0.003
0.003
+
ϵ
y
d
=
0.003
0.003
+
f
y
E
s
d
=
600
600
+
f
y
d
{\displaystyle {\begin{aligned}c_{b}&={\frac {0.003}{0.003+\epsilon _{y}}}d={\frac {0.003}{0.003+{\frac {f_{y}}{E_{s}}}}}d\\&={\frac {600}{600+f_{y}}}d\end{aligned}}}
♣♣♣균형철근비 14-3, 18-3
까먹으면 유도 가능.
0.85
f
c
k
a
b
=
A
s
b
f
y
{\displaystyle 0.85f_{ck}ab=A_{sb}f_{y}}
A
s
b
=
0.85
f
c
k
β
1
c
b
b
f
y
{\displaystyle A_{sb}={\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}c_{b}b}{f_{y}}}}
ρ
b
=
A
s
b
b
d
=
0.85
f
c
k
β
1
c
b
b
f
y
b
d
=
0.85
f
c
k
β
1
f
y
d
⋅
600
600
+
f
y
d
=
0.85
f
c
k
f
y
β
1
⋅
(
600
600
+
f
y
)
=
0.85
f
c
k
a
f
y
⋅
d
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{b}&={\frac {A_{sb}}{bd}}={\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}c_{b}{\cancel {b}}}{f_{y}{\cancel {b}}d}}\\&={\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}}{f_{y}{\cancel {d}}}}\cdot {\frac {600}{600+f_{y}}}{\cancel {d}}\\&={\frac {0.85f_{ck}}{f_{y}}}\beta _{1}\cdot \left({\frac {600}{600+f_{y}}}\right)\\&={\frac {0.85f_{ck}a}{f_{y}\cdot d}}\\\end{aligned}}}
ρ
b
=
0.85
β
1
f
c
k
f
y
0.003
0.003
+
ϵ
y
=
0.85
β
1
f
c
k
f
y
600
600
+
f
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{b}&=0.85\beta _{1}{\frac {f_{ck}}{f_{y}}}{\frac {0.003}{0.003+\epsilon _{y}}}\\&=0.85\beta _{1}{\frac {f_{ck}}{f_{y}}}{\frac {600}{600+f_{y}}}\\\end{aligned}}}
♣♣12-3, 13-1, 14-2, 15-1, 15-2, 15-3
휨부재 정철근량은 해석 상 소요 철근량보다 1/3만큼 추가하지 않은 경우 철근비가
0.25
f
c
k
f
y
{\displaystyle {\frac {0.25{\sqrt {f_{ck}}}}{f_{y}}}}
또는
1.4
f
y
{\displaystyle {\frac {1.4}{f_{y}}}}
중 큰값 이상이어야 한다.
fy (MPa)
최소 허용 인장변형률 εtmin
400 이하
0.004
400 초과
2.0
ϵ
y
{\displaystyle 2.0\epsilon _{y}}
최대철근비는 다음으로부터 계산된 값이다.
ρ
b
=
0.85
β
1
f
c
k
f
y
0.003
0.003
+
ϵ
y
{\displaystyle \rho _{b}=0.85\beta _{1}{\frac {f_{ck}}{f_{y}}}{\frac {0.003}{0.003+\epsilon _{y}}}}
ρ
m
a
x
=
0.85
β
1
f
c
k
f
y
0.003
0.003
+
ϵ
t
m
i
n
{\displaystyle \rho _{max}=0.85\beta _{1}{\frac {f_{ck}}{f_{y}}}{\frac {0.003}{0.003+\epsilon _{tmin}}}}
위 두 식을 조합하면 아래처럼 된다.
ρ
m
a
x
=
ϵ
c
+
ϵ
y
ϵ
c
+
ϵ
t
m
i
n
ρ
b
=
0.003
+
ϵ
y
0.003
+
ϵ
t
m
i
n
ρ
b
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{max}&={\frac {\epsilon _{c}+\epsilon _{y}}{\epsilon _{c}+\epsilon _{tmin}}}\rho _{b}\\&={\frac {0.003+\epsilon _{y}}{0.003+\epsilon _{tmin}}}\rho _{b}\\\end{aligned}}}
1. 90
강도 설계법에서 균형 철근비 ρb = 0.0365, b = 300mm, d = 500mm일 때 유효 철근량은?
풀이
다른 조건이 없으므로 최대 철근비에 의해 구한다.
ρ
=
A
s
b
⋅
d
{\displaystyle \rho ={\frac {A_{s}}{b\cdot d}}}
에서
A
s
=
ρ
⋅
b
⋅
d
{\displaystyle A_{s}=\rho \cdot b\cdot d}
ρ
m
a
x
=
0.75
ρ
b
{\displaystyle \rho _{max}=0.75\rho _{b}}
이므로 (별 조건 없으면 최대값인 0.75로 한다고 함.)
A
s
=
0.75
ρ
⋅
b
⋅
d
=
4106
m
m
2
{\displaystyle A_{s}=0.75\rho \cdot b\cdot d=4106mm^{2}}
2. 92, 18-3(다른 숫자로)
단철근 직사각형보 b = 300mm, d = 620mm에서 사용 가능한 최대 인장철근 단면적은? 강도 설계법을 사용하고 fck = 24MPa, fy = 300MPa이다.
풀이
fy = 300MPa일 때 ρmax = 0.643 ρb
ρ
b
=
0.85
f
c
k
β
1
f
y
×
600
600
+
f
y
{\displaystyle \rho _{b}={\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}}{f_{y}}}\times {\frac {600}{600+f_{y}}}}
ρ
m
a
x
=
0.643
ρ
b
=
0.643
0.85
f
c
k
β
1
f
y
×
600
600
+
f
y
=
0.02478
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{max}&=0.643\rho _{b}\\&=0.643{\frac {0.85f_{ck}\beta _{1}}{f_{y}}}\times {\frac {600}{600+f_{y}}}\\&=0.02478\end{aligned}}}
As = ρmax b d = 0.02478×300×620 = 4609 mm2
19-1
오른쪽 그림에서 유효깊이 d를 구하시오. D19 철근 공칭단면적은 287mm2
바리뇽의 정리를 이용하는 문제다.
5
d
=
2
×
350
m
m
+
3
×
450
m
m
{\displaystyle 5d=2\times 350mm+3\times 450mm}
d = 410mm
복철근보에서 압축철근 있어도 유효깊이 구할 땐 인장부 철근만 가지고 함.
♣♣♣ 14-2, 18-1 등등 이 부분은 전반적으로 중요
최외단 철근 변형률
ϵ
t
=
d
t
−
c
c
×
0.003
{\displaystyle \epsilon _{t}={\frac {d_{t}-c}{c}}\times 0.003}
♣♣♣ 콘크리트의 압축력
C
=
0.85
f
c
k
⋅
a
⋅
b
{\displaystyle C=0.85f_{ck}\cdot a\cdot b}
♣♣♣ 18-3 등등
β
1
=
{
0.85
−
(
f
c
k
−
28
)
×
0.007
≥
0.65
(
f
c
k
>
28
M
P
a
)
0.85
(
f
c
k
≤
28
M
P
a
)
{\displaystyle \beta _{1}={\begin{cases}0.85-(f_{ck}-28)\times 0.007\geq 0.65&(f_{ck}>28MPa)\\0.85&(f_{ck}\leq 28MPa)\end{cases}}}
♣♣♣ 단철근 직사각형 보
C = T
0.85
f
c
k
a
b
=
A
s
f
y
{\displaystyle 0.85f_{ck}ab=A_{s}f_{y}}
공칭 휨강도
♣♣♣ 14-3
M
n
=
T
⋅
z
=
f
y
A
s
(
d
−
a
2
)
=
C
⋅
z
=
0.85
f
c
k
⋅
a
⋅
b
(
d
−
a
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{n}&=T\cdot z=f_{y}A_{s}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)\\&=C\cdot z=0.85f_{ck}\cdot a\cdot b\left(d-{\color {red}{\frac {a}{2}}}\right)\\\end{aligned}}}
주의!! 만약 직사각형 단면이 아니라 삼각형과 같은 단면이라면, 모멘트 팔길이 달라짐(위 식에서 빨간색 부분)
계수하중 1.2D + 1.6L[ 1] [ 2]
설계 휨강도
79, 99, 16-4 등등 ♣♣♣
M
d
=
ϕ
M
n
=
ϕ
{
0.85
f
c
k
a
b
(
d
−
a
2
)
}
=
ϕ
A
s
f
y
(
d
−
a
2
)
=
ϕ
f
y
ρ
b
d
2
(
1
−
0.59
ρ
f
y
f
c
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{d}&=\phi M_{n}\\&={\color {Red}\phi \left\{0.85f_{ck}ab\left(d-{\frac {a}{2}}\right)\right\}}\\&={\color {Red}\phi A_{s}f_{y}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)}\\&=\phi f_{y}\rho bd^{2}\left(1-0.59\rho {\frac {f_{y}}{f_{ck}}}\right)\end{aligned}}}
19-1
q
=
f
y
ρ
f
c
k
{\displaystyle q={\frac {f_{y}\rho }{f_{ck}}}}
라고 하면
M
d
=
ϕ
f
y
ρ
b
d
2
(
1
−
0.59
q
)
=
ϕ
f
c
k
q
b
d
2
(
1
−
0.59
q
)
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{d}&=\phi f_{y}\rho bd^{2}(1-0.59q)\\&=\phi f_{ck}qbd^{2}(1-0.59q)\\\end{aligned}}}
97
계산 상 철근비
ρ
>
0.003
+
f
y
/
E
s
0.007
ρ
b
{\displaystyle \rho >{\frac {0.003+f_{y}/E_{s}}{0.007}}\rho _{b}}
이면
ρ
=
0.003
+
f
y
/
E
s
0.007
ρ
b
{\displaystyle \rho ={\frac {0.003+f_{y}/E_{s}}{0.007}}\rho _{b}}
1. 79, 86
b = 300mm, d = 550mm, As = 1600mm2 단철근 직사각형 보의 계수 강도 모멘트 Mu 를 구하시오.(ρ < 0.75ρb , fck = 21MPa, fy = 300MPa)
풀이
a
=
f
y
⋅
A
s
0.85
f
c
k
⋅
b
=
300
×
1600
0.85
×
21
×
300
=
89.6
m
m
{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {f_{y}\cdot A_{s}}{0.85f_{ck}\cdot b}}\\&={\frac {300\times 1600}{0.85\times 21\times 300}}=89.6mm\\\end{aligned}}}
음... 지배단면 결정하고 강도감소계수 Φ 결정해야됨...
M
u
=
M
d
=
ϕ
M
n
=
ϕ
A
s
f
y
(
d
−
a
2
)
=
0.85
×
1600
×
300
(
550
−
89.6
2
)
=
206
k
N
⋅
m
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{u}=M_{d}&=\phi M_{n}=\phi A_{s}f_{y}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)\\&=0.85\times 1600\times 300\left(550-{\frac {89.6}{2}}\right)\\&=206kN\cdot m\end{aligned}}}
2. 84, 93
보 자중 10kN/m, 활하중 15kN/m 등분포 하중을 받는 10m 경간 단순 지지보의 극한 설계 모멘트는? (감소율 미고려)
풀이
wu = 1.2 wd + 1.6 wl = 36kN/m
M
u
=
w
u
⋅
l
2
8
=
450
k
N
⋅
m
{\displaystyle M_{u}={\frac {w_{u}\cdot l^{2}}{8}}=450kN\cdot m}
12-3
표피철근(skin reinforcement). 보 또는 장선의 깊이 h가 900mm를 초과하면 종방향 표피 철근을 인장 연단으로부터 h/2 지점까지 부재 양 측면을 따라 균일하게 배치해야 한다.
보 및 1방향 슬래브의 휨철근 배치규정
콘크리트의 인장 연단에 가장 가까이 배치되는 철근의 중심간격 s는 다음 중 작은값 이하여야 한다.
20-1+2
s
=
{
375
κ
c
r
f
s
−
2.5
C
c
300
κ
c
r
f
s
{\displaystyle s={\begin{cases}375{\frac {\kappa _{cr}}{f_{s}}}-2.5C_{c}\\300{\frac {\kappa _{cr}}{f_{s}}}\end{cases}}}
κ
c
r
=
{
280
(건 조 환 경 )
210
(그 외 )
{\displaystyle \kappa _{cr}={\begin{cases}280\ {\text{(건 조 환 경 )}}\\210\ {\text{(그 외 )}}\end{cases}}}
Cc : 순피복두께(Clear Cover of Reinforcement). 인장철근이나 긴장재 표면과 콘크리트 표면 사이 최소두께
fs : 철근응력(근삿값 :
f
s
=
2
3
f
y
{\displaystyle f_{s}={\frac {2}{3}}f_{y}}
)
13-1, 15-2, 16-2, 16-4, 18-2 종합적 이해 필요
0.85
f
c
k
a
b
+
A
s
′
f
y
=
A
s
f
y
{\displaystyle 0.85f_{ck}ab+{A_{s}}'f_{y}=A_{s}f_{y}}
0.85
f
c
k
a
b
=
f
y
(
A
s
−
A
s
′
)
{\displaystyle 0.85f_{ck}ab=f_{y}(A_{s}-{A_{s}}')}
등가응력 직사각형의 깊이
a
=
(
A
s
−
A
s
′
)
f
y
0.85
f
c
k
⋅
b
{\displaystyle a={\frac {(A_{s}-{A_{s}}')f_{y}}{0.85f_{ck}\cdot b}}}
13-1, 14-2, 18-2
압축철근 효과
지속하중에 의한 처짐 감소
파괴 시 압축응력 깊이 감소. 연성 증대
철근 조립 쉽게 함.
단철근 보에 비해 압축철근이 들어간다고 휨 내력이 크게 증가하진 않는다 .
압축철근 항복 변형률(가끔 출제. 단철근 보와 어떻게 다른지 구별할 것. 원리는 같음. 그림 그려서 이해하기)
ϵ
s
′
=
c
−
d
′
c
×
0.003
≥
ϵ
y
{\displaystyle {\epsilon _{s}}'={\frac {c-d'}{c}}\times 0.003\geq \epsilon _{y}}
14-2, 16-1
공칭강도 : 복철근보는 단철근 직사각형보가 부담할 수 있는 휨모멘트와, 압축철근과 이에 해당하는 인장철근이 부담할 수 있는 휨모멘트로 구분하여 계산.
M
n
=
M
n
1
+
M
n
2
=
(
A
s
−
A
s
′
)
f
y
(
d
−
a
2
)
+
A
s
′
f
y
(
d
−
d
′
)
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{n}&=M_{n1}+M_{n2}\\&=(A_{s}-{A_{s}}')f_{y}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)+{A_{s}}'f_{y}(d-d')\\\end{aligned}}}
단철근 T형보의 단면 해석(단면이 주어진 경우)[ 편집 ]
T형보 : 교량이나 건물에서 슬래브와 보를 일체로 친 경우, 슬래브가 양쪽 플랜지를 이루는 보. T형의 단일체가 되어 외력에 저항한다.
횡방향 철근 : 주철근이 보와 같은 방향일 때 하중이 직접적으로 플랜지에 작용하면 플랜지가 아래로 휘면서 파괴될 수 있다. 이 휨파괴를 막기 위해 설치.(19-3)
♣♣♣99, 12-3, 13-2, 15-3
세 값 중 작은 값
16
t
f
+
b
w
{\displaystyle 16t_{f}+b_{w}}
양쪽 슬래브 중심간 거리
경간의 1/4
♣♣♣84, 86, 18-2
세 값 중 작은 값
6
t
f
+
b
w
{\displaystyle 6t_{f}+b_{w}}
인접보와 내측거리
×
1
2
+
b
w
{\displaystyle \times {\frac {1}{2}}+b_{w}}
보 경 간
×
1
12
+
b
w
{\displaystyle {\text{보 경 간 }}\times {\frac {1}{12}}+b_{w}}
구한 유효폭 be 가 아래 계산에서 b로 쓰임.
아 G로 비교하는 건 안 나오네... 그래도 알고 싶다면 T형보의 판정 보충 참고.
81, 84
a
=
A
s
f
y
0.85
f
c
k
b
{\displaystyle a={\frac {A_{s}f_{y}}{0.85f_{ck}b}}}
a > tf : T형보
a ≤ tf : 폭이 b인 단철근 직사각형보
a를 가지고 T형보 판정을 한다.[ 3] [ 4] [ 5]
또는 플랜지 전체가 받는 압축력과 인장철근이 받는 인장력을 비교해서 판정해도 된다.
♣♣♣ 14-2, 14-3, 15-1, 15-2, 18-1, 18-2, 19-3
fck = 21MPa, fy = 300MPa, b = 1000mm, tf = 60mm, bw = 300mm, d = 600mm, As = 4000mm2 일 때 설계휨강도 φMn 을 구하시오.
1) T형보 판정
전체에 대해서 응력블록의 깊이 a 계산 .
0.85
f
c
k
a
b
=
A
s
f
y
{\displaystyle 0.85f_{ck}ab=A_{s}f_{y}}
a = 67.2mm
a > tf 이므로 T형보로 해석한다.
2) 응력사각형 깊이 a 계산
플랜지 내민 부분 압축력에 대응하는 가상의 인장철근 단면적
Cf = Tf 에서
0.85
f
c
k
⋅
t
f
(
b
−
b
w
)
=
f
y
A
s
f
{\displaystyle 0.85f_{ck}\cdot t_{f}(b-b_{w})=f_{y}A_{sf}}
A
s
f
=
0.85
f
c
k
t
f
(
b
−
b
w
)
f
y
=
0.85
×
21
×
60
×
(
1000
−
300
)
300
=
2499
m
m
2
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{sf}&={\frac {0.85f_{ck}t_{f}(b-b_{w})}{f_{y}}}\\&={\frac {0.85\times 21\times 60\times (1000-300)}{300}}\\&=2499mm^{2}\end{aligned}}}
Cw = Tw 에서
a
=
f
y
(
A
s
−
A
s
f
)
0.85
f
c
k
b
w
=
300
×
(
4000
−
2499
)
0.85
×
21
×
300
=
84.1
m
m
{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {f_{y}(A_{s}-A_{sf})}{0.85f_{ck}b_{w}}}\\&={\frac {300\times (4000-2499)}{0.85\times 21\times 300}}\\&=84.1mm\end{aligned}}}
Φ 계산(그냥 0.85가 아님 !!!!!!!!!!!!!)
β
=
0.85
{\displaystyle \beta =0.85}
c
=
a
β
=
84.1
0.85
=
98.94
m
m
{\displaystyle c={\frac {a}{\beta }}={\frac {84.1}{0.85}}=98.94mm}
ϵ
t
600
−
98.94
=
0.003
98.94
{\displaystyle {\frac {\epsilon _{t}}{600-98.94}}={\frac {0.003}{98.94}}}
ϵ
t
=
0.0152
>
ϵ
t
,
t
c
l
=
0.005
{\displaystyle \epsilon _{t}=0.0152>\epsilon _{t,\ tcl}=0.005}
∴
ϕ
=
0.85
{\displaystyle \therefore \phi =0.85}
3) 설계강도 Md
M
d
=
ϕ
M
n
=
ϕ
(
M
n
f
+
M
n
w
)
=
0.85
{
A
s
f
f
y
(
d
−
t
f
2
)
+
(
A
s
−
A
s
f
)
f
y
(
d
−
a
2
)
}
=
0.85
{
2499
×
300
(
600
−
60
2
)
+
(
4000
−
2499
)
×
300
×
(
600
−
84.1
2
)
}
=
576787802.3
N
⋅
m
m
=
576.79
k
N
⋅
m
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{d}=\phi M_{n}&=\phi (M_{nf}+M_{nw})\\&=0.85\left\{A_{sf}f_{y}\left(d-{\frac {t_{f}}{2}}\right)+(A_{s}-A_{sf})f_{y}\left(d-{\frac {a}{2}}\right)\right\}\\&=0.85\left\{2499\times 300\left(600-{\frac {60}{2}}\right)+(4000-2499)\times 300\times \left(600-{\frac {84.1}{2}}\right)\right\}\\&=576787802.3N\cdot mm=576.79kN\cdot m\end{aligned}}}
깊은 보(deep beam) 정의
순경간 l n 이 부재 깊이의 4배 이하인 보 (16-1)
하중이 받침부로부터 부재 깊이의 2배 거리 이내에 작용하는 보
제한사항(16-1)
깊은 보의 공칭 전단강도
V
n
≤
5
V
c
=
5
6
λ
f
c
k
b
w
⋅
d
{\displaystyle V_{n}\leq 5V_{c}={\frac {5}{6}}\lambda {\sqrt {f_{ck}}}b_{w}\cdot d}
이어야 함.
휨인장철근과 직각인 수직전단철근 단면적[ 6]
A
v
≥
0.0025
b
w
s
{\displaystyle A_{v}\geq 0.0025b_{w}s}
휨인장철근과 평행한 수평전단철근 단면적
A
v
h
≥
0.0015
b
w
s
h
{\displaystyle A_{vh}\geq 0.0015b_{w}s_{h}}
↑ KDS 41 10 15 :2019 건축구조기준 설계하중
↑ 전찬기 외, <<토목기사 과년도 - 철근콘크리트 및 강구조>>(2015), 성안당, 114쪽
↑ 윤영수, <<철근콘크리트 역학 및 설계>>(3판), 씨아이알
↑ 이학민, <<토목설계>>(2017), 탑스팟
↑ http://contents.kocw.net/KOCW/document/2014/Seowon/Leehongwoo/05.pdf
↑ KDS 14 20 22 :2018 콘크리트구조 전단 및 비틀림 설계기준 4.7.2 최소 철근량 산정 및 배치