토목기사 요약/응용역학/보의 처짐

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기사 출제 1위 ♣♣♣

부호 약속[편집]

♣♣♣

  • 처짐 : 하향 +, 상향 -
  • 처짐각 : 변형 전 축 기준 시계방향 +, 반시계방향 -

곡률, 곡률반경[편집]

♣♣♣13-1

곡률
곡률반경

w(x) : 하중함수

계산 방법[편집]

15-2 종류 물어봄

  1. 모멘트 면적법
  2. 탄성하중법 : 단순보에만
  3. 공액보법 : 내민보, 외팔보, 연속보에 적용 가능. 단순보에만 적용가능한 탄성하중법을, 이러한 형태의 보에도 가능하도록 보를 바꾼 것을 공액보라고 함.[1] 뼈대에는 어려움
  4. (공액구조법(conjugate structure method))
  5. 가상일법(가상단위하중법)
  6. 카스틸리아노의 제 2법칙[2]

이 방법들은 부정정보, 골조와 트러스 반력 계산에도 사용된다.

그 외

  • 이중적분법(Double Integration Method)

모멘트면적법[편집]

Saint Venant에 의해 발견. Mohr, Greene이 개선.[3]

탄성곡선 : 보가 처졌을 때 형상 나타낸 곡선.

♣♣♣ 15-2, 16-1, 17-2 등등

  • 제 1정리 : 부재 두 점에서 그은 탄성곡선 접선 사이 처짐각 변화량은 두 점 사이 도 면적과 동일
  • 제 2정리 : 보의 탄성곡선 한 점에서의 접선이 탄성곡선의 다른 점과 이루는 상대적인 처짐량처짐을 계산코자 하는 점에서 취한 두 점 사이 도의 모멘트와 동일[4]

탄성하중법[편집]

♣♣♣

  • 탄성하중 : 모멘트를 EI로 나눈 값. 이것을 하중으로 작용시키기 때문에 탄성 '하중'이라고 함.[5]

17-4

탄성하중법.jpg

  • A를 M/EI도의 면적이라고 하면, 처짐()은 이고, 두 접선 사이의 각은 A이다.
  • 가상의 보에 M/EI도에 따라 하중이 재하되면, 반력은 , 이다.
  • 처짐각

탄성하중법에 대한 핵심 정리[편집]

이게 모멘트면적법, 탄성하중법에 대한 핵심임!

  1. 단순보 임의 점에서 탄성곡선의 처짐각(양쪽 지점을 현으로 하였을 때 측정한 값)은 M/EI도가 하중으로 작용하는 보에서 그 점의 전단력과 동일하다.
  2. 단순보 임의 점에서 탄성곡선의 처짐()(양쪽 지점을 현으로 하였을 때 측정한 값)은 M/EI도가 하중으로 작용하는 보에서 그 점의 모멘트와 동일하다.

17-4

D점 처짐각, 수직처짐? EI는 일정


곡률도(EI는 편의상 생략함.)만큼이 분포하중으로 보고 반력부터 계산한다.

D점 처짐각은 곡률도만큼 분포하중이 작용할 때 D점에서 전단력과 동일

D점 수직처짐은 곡률도만큼 분포하중이 작용할 때 D점에서 모멘트와 동일


14-1, 16-4

Deflection4.png

A점의 처짐각은? EI는 일정하다.


탄성하중법을 쓸 것이다. 먼저 반력을 구하고, 휨모멘트를 구한다음 EI로 나눈 값만큼을 하중으로 재하시킨 탄성하중도를 그린다.

Deflection5.png



Deflection6.png

A점 처짐각은 A점에서의 전단력과 같다. A점 전단력은 VA이므로

공액보법[편집]

♣♣♣

원 구조에서 모멘트도를 구한 뒤, EI로 나눈 곡률도만큼 탄성하중을 원 구조의 공액보에 재하하여 처짐, 처짐각을 계산[6]

Real support vs Conjugate support[7]
Real beam Conjugate beam
Fixed support Fixed support.svg Free end Free end.svg
Free end Free end.svg Fixed support Fixed support.svg
Hinged support Hinged support.svg Hinged support Hinged support.svg
Middle support Middle support.svg Middle hinge Middle hinge.svg
  • :continue
  • :continue
Middle hinge Middle hinge.svg Middle support Middle support.svg
  • :continue
  • :discontinue
  • :continue
  • :discontinue
Examples of conjugate beam[7]
Real beam Conjugate beam
Simple beam Simple beam.svg Simple beam.svg
Cantilever beam Cantilever beam (left supported).svg Cantilever beam (right supported).svg
Left-end Overhanging beam Left end overhanging beam.svg Fixed-hinge-support beam.svg
Both-end overhanging beam Both end overhanging beam.svg Both end fixed and 2 middle hinged beam.svg
Gerber's beam (2 span) 2 spans Gerber's beam (left hinged).svg 2 spans Gerber's beam (right hinged).svg
Gerber's beam (3 span) 3 spans Gerber's beam (support-support-hinge).svg 3 spans Gerber's beam (support-hinge-support).svg

00, 16-1 기출

Cantilever1.png

최대처짐각 θB를 구하시오.


반력계산

Cantilever2.png


Cantilever3.png


Cantilever3-1.png


Cantilever4.png

A에서 B까지 탄성하중도의 면적을 구하면 B에서의 최대처짐각이다.

사다리꼴 면적 + 포물선 제외 부분 면적하면 된다.

가상일의 방법[편집]

♣♣♣ 14-3, 15-1, 17-4, 18-1

구하고자 하는 점에 가상 단위 하중 1을 작용시켜 처짐을 구하는 방법.

처짐각을 구하고자 한다면 가상 단위 모멘트 1을 작용시켜야 된다. 처짐각 계산은 모멘트면적법이 편함.

Product Integral[편집]

Product Integral3.png


16-1

B점의 수평변위는? EI는 일정.

처짐1.png

M, m을 찾는다.

암기해야할 변형값[편집]

♣♣♣ 14-2, 14-3, 16-2, 18-1, 18-3, 19-1, 19-3

변형표.png

확실히 못 외우겠으면 그냥 계산하는 것도 나쁘지 않은 듯. 시간 남는다면.

19-2

단순보 처짐1.png

중앙점 처짐 δ=0이 되도록 양쪽 지점에 모멘트 M을 작용시키려고 한다. M을 P, L로 나타내면?


δ는 암기한 값을 쓰거나 정 안 되면 계산해서 구한다.

양쪽 지점에 모멘트를 가한 것에 의해 발생하는 변위가 위 δ와 상쇄되면 된다.

단순보 처짐3.png

모멘트도를 그리고, M을 제거한 단순보의 변위를 구하고자 하는 점에 단위하중을 재하한 가상계의 모멘트도 m을 구한다. 변위일치법을 이용해 M에 의한 변위 Δ 계산

단순보 처짐2.png

혹은 더 간단한 방법으로, 공액보법을 쓴다. 단순보(공액보)에 의 등분포 탄성하중을 재하하고, 중앙점 처짐량은 중앙점 휨모멘트와 같으므로,

이므로


02-1, 08-1, 12-1, 12-3, 15-2, 16-2

Simple beam deflection1.png

w = 1tf/m, δ = 1cm, 일 때 가운데 지점의 수직반력 Rc는 얼마가 생기는가?


분포하중에 의한 처짐값(암기)

수직반력을 집중하중이라고 봤을 때 처짐을 상쇄하는 변위량(암기하든, 탄성하중법으로 구하든)

트러스에 가상일법 적용[편집]

♣♣♣13-1, 14-1, 14-3, 16-4, 17-2, 19-1

  1. 외부하중에 의한 부재력 계산
  2. 외력 제거, 변위 구하고자하는 절점에 변위 방향으로 단위하중(무차원)
  3. 단위하중에 의한 부재력 μ 계산
  4. 계산

부재 하나하나의 변형량은 이다. 어디서 많이 보던 식이지?

각주[편집]

  1. 전찬기 외, <<토목기사 필기 과년도 - 응용역학>>(2015), 성안당 출판사, 396쪽
  2. 전찬기 외 (2015). 《토목기사 필기 응용역학》. 성안당. 374, 438쪽. 
  3. 전찬기 외, <<토목기사 필기 과년도 - 응용역학>>(2015), 성안당 출판사, 394쪽
  4. Jack C. McCormac. 《구조해석》 4판. 동화기술. 
  5. 전찬기 외, <<토목기사 필기 과년도 - 응용역학>>(2015), 성안당 출판사, 395쪽
  6. 전찬기 외 (2015). 《토목기사 필기 - 응용역학》. 성안당. 397쪽. 
  7. 7.0 7.1 Okmamura (1988)、p.171。