철근 콘크리트 역학 및 설계/휨

무근 콘크리트 보의 균열 발생 시 거동

$\epsilon ={\frac {f_{r}}{E_{c}}}$

$\phi ={\frac {\epsilon }{0.5h}}$

단철근 콘크리트 보의 균열 발생 이전 거동

$f_{cc}=E_{c}\epsilon _{cc}=E_{c}\phi c$

$f_{ct}=E_{c}\epsilon _{ct}=E_{c}\phi (h-c)$

$f_{s}=E_{s}\epsilon _{s}=E_{s}\phi (d-c)$

단철근 콘크리트 보의 균열 발생 시 거동

순서

중립축 c 계산
변형률 ε 계산
응력 f 계산
하중 N 계산
평형 확인
균열발생 모멘트 M_cr, 곡률 Φ 계산

중립축 c 계산

응력분포도에서 $\sum F_{x}=0$

$N_{cc}-N_{ct}-N_{s}=0$ 이용.

이하는 생략

단철근 콘크리트 보의 균열 발생 후 거동

M-Φ 상관거동 계산 순서

ε_cc 가정
철근 항복 여부 가정
N_c = N_T 이용, 중립축 거리 c 계산
ε_s 계산
철근 항복 여부 검토
철근 항복 가정에 맞으면 M, Φ 계산

여러 점에 대해서 M, Φ 계산 반복하여 그래프를 그려준다. 대표적으로 다음 점들에 대한 값을 계산해주어야 한다.

콘크리트 인장균열발생점(이건 무근콘크리트 보로 보면 안 되고, 균열발생 시 거동으로 풀어야 함.)
철근 항복 이전점
철근 항복점
철근 항복 이후점

등가직사각형 응력블록 약산

$\epsilon _{cc}=0.003$ (구조기준에서 정하는 콘크리트 극한응력상태 변형률)

$\beta _{1}={\begin{cases}0.85-(f_{ck}-28)\times 0.007\geq 0.65&(f_{ck}>28MPa)\\0.85&(f_{ck}\leq 28MPa)\end{cases}}$

24년도 기준 베타 = 0.8

다음 세 점에 대해서 M, Φ 계산

콘크리트 균열점(무근 콘크리트 보로 보고 계산. 철근의 영향은 상대적으로 작기 때문에)
철근 항복점(콘크리트 응력분포는 삼각형! M 계산 시 모멘트 팔길이 주의!! 사각형으로 하면 안 됨!)
콘크리트 압축파괴점

단철근 직사각형 보 M-Φ 곡선 연습문제1

보통중량 콘크리트, $f_{ck}=30MPa,\ f_{y}=400MPa$ 일 때 M-Φ곡선을 정산, 약산을 이용하여 각각 그리시오. b = 280mm, d = 720mm, h = 800mm, $A_{s}=4800mm^{2}$ 이다.

하중 계산

${\begin{aligned}N_{cc}={\frac {1}{2}}f_{cc}bc&={\frac {1}{2}}\times 4.27\times 280\times 443.1\times 10^{-3}\\&=264.89kN\cdot m\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}N_{s}=A_{s}f_{s}&=4800\times 19.38\times 10^{-3}\\&=93.024kN\cdot m\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}N_{ct}={\frac {1}{2}}f_{ct}(h-c)b&={\frac {1}{2}}\times 3.45(800-443.1)\times 280\times 10^{-3}\\&=172.383kN\cdot m\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}M&=A_{s}E_{s}\epsilon _{s}\left(d-{\frac {\beta c}{2}}\right)\\&=4800\times 2\times 10^{5}\times 1.19\times 10^{-3}\left(720-{\frac {0.7\times 328.6}{2}}\right)\times 10^{-6}\\&=691.14kN\cdot m\end{aligned}}$

⑤ $\epsilon _{s}=\epsilon _{y}$ 인 점


ε_cc	0.001	0.0015	0.0019	0.002
ε_s	0.00119	0.0016	$\approx \epsilon _{y}=0.002$	0.0022
α	0.592	0.74	0.8584	0.888
β	0.7	0.725	0.7452	0.75

철근항복점에선 약산이 적당한지 봐준다. ε_cc 계산, f_cc계산, C 계산, C = T인지 검토.

콘크리트 압축파괴점에서 철근 항복가정 검토 해줘야 함. 콘크리트 압축파괴점에서는 $\epsilon _{s}>\epsilon _{y}$ 가 나오는지만 봐주면 됨.

단철근 직사각형 보 M-Φ 곡선 연습문제2

조건이 다음과 같을 때 M-Φ 곡선을 그리시오.

f_ck = 30MPa
λ = 1.0
f_y = 400MPa
d = 530mm
h = 600mm
b = 300mm
A_s = 2000mm²

철근 항복점에서의 M, Φ값은 아래와 같이 정한다.

$M_{y}=0.85M_{u}$
$\phi _{y}=1.25\phi _{cr}$

철근 항복점을 정할 때 정밀식이든, 약산식이든 문제의 조건대로 하면 조건대로 하지 않았을 때와 곡률에서 차이가 많이 난다. 정밀식과 약산식 모두 원래 풀이대로라면 $5.79\times 10^{-6}rad/mm$ 정도에서 철근 항복점이 생긴다. 어떤 방법을 쓰든, 정밀식과 약산식의 M-Φ 곡선은 거의 비슷한 값을 가진다.