점화식 예제

자료 정보
진행 상황: 이 자료는 완성되었거나 거의 완성 단계에 있습니다.
과목 정보: 이 자료는 수학 과목의 자료입니다.
자료 형식: 이 자료는 문서형식의 자료입니다.
교육 수준: 이 자료는 대학교 강의 수준의 자료입니다.

점화식에 관한 간단한 예제 문제와 논술형 문제를 해결해봅시다.

유형 1 : $a_{n+1}=pa_{n}+q$꼴의 점화식 ( $p\neq 1$ $and$ $q\neq 0$ )

예제 1

$a_{1}=1$이고, $a_{n+1}=5a_{n}-3$을 만족할 때, 일반항 $a_{n}$을 구하시오.

예제 2

$a_{1}=-{\frac {1}{4}}$이고, $a_{n+1}=4a_{n}+1$을 만족할 때, 일반항 $a_{n}$을 다음과 같이 나타내었다.

$a_{n}={\frac {3^{-1}}{4^{2}}}\cdot f(n)-{\frac {1}{3}}$ ( $n$은 자연수 ) 이때,

$f(a_{4})+f(5)$의 값을 구하시오.

유형 2 : $a_{n+1}=p(n)\cdot a_{n}+q(n)$꼴의 점화식 ( 단, $p(n)$은 정수$,$ $q(n)\neq 0$ )

예제 1

$a_{1}=1$이고, $a_{n+1}=2a_{n}+2^{n}$을 만족할 때, 일반항 $a_{n}$을 다음과 같이 나타내었다.

$a_{n}=f(n)\cdot 2^{n}$ ( $n$은 자연수 ) 이때,

$f(a_{3})-{a_{f(2)}}^{2}$의 값을 구하시오.

논술형 문제 $[1]\sim [3]$

양의 정수 $n$에 대하여 집합 $A_{n}$은 다음과 같다.

$A_{n}=\{(x_{1},$ $x_{2},$ $\cdots ,$ $x_{n})$ $|$ $x_{i}\in \{1$, $2,$ $3,$ $4\},$ $x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}$은 $5$의 배수$\}$

이때, $A_{n}$의 원소의 개수는 $a_{n}$이다.

$[1]$ $a_{3}$의 값을 구하시오.

$[2]$ $n\geq 2$일 때, $a_{n}$과 $a_{n-1}$의 관계식을 구하시오.

$[3]$ $a_{n}$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오.

문제 풀이

문제 풀이에 앞서 위와 같은 문제를 풀기 위해서는 점화식에 대하여 기본적인 이해와 해결 능력이 필요합니다.

점화식에 대한 자세한 내용은 위키백과 점화식을 참고하시면 될 것 같습니다.

유형 1

예제 1

준 식 $a_{n+1}=5a_{n}-3$의 다음항을 구해보면, $a_{n+2}=5a_{n+1}-3$

위 식에서 준 식을 빼주면, 계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 $5$인 등비수열이 되고, 식은 다음과 같다.

$b_{n+1}=5b_{n}$ ( $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ ) 등비수열 $b_{n}$의 일반항을 구해보면,

$b_{n}=b_{1}\cdot 5^{n-1}$이다. 이때, $a_{n}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}$이므로,

$a_{n}=a_{1}+{\frac {(a_{2}-a_{1})\cdot (5^{n-1}-1)}{5-1}}$이고, 주어진 조건과 준 식에 의해서 $a_{1}=1,$ $a_{2}=2$이므로,

$a_{n}=1+{\frac {1}{4}}\cdot (5^{n-1}-1)={\frac {1}{4}}\cdot (5^{n-1}+3)$

$\therefore$ $a_{n}={\frac {1}{4}}\cdot (5^{n-1}+3)$

예제 2

준 식 $a_{n+1}=4a_{n}+1$의 다음항을 구하여 준 식을 빼주면,

계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 $4$인 등비수열이 되고 식은 다음과 같다.

$b_{n+1}=4b_{n}$ ( $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$ ) 등비수열 $b_{n}$의 일반항은 $b_{n}=b_{1}\cdot 4^{n-1}$임을 이용하여

$a_{n}$의 일반항을 구해보면, $a_{n}=a_{1}+{\frac {(a_{2}-a_{1})\cdot (4^{n-1}-1)}{4-1}}$이고, 주어진 조건과 준 식에 의해서

$a_{1}=-{\frac {1}{4}},$ $a_{2}=0$이므로, $a_{n}=-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}\cdot (4^{n-1}-1)={\frac {1}{3}}\cdot (4^{n-2}-1)={\frac {3^{-1}}{4^{2}}}\cdot f(n)-{\frac {1}{3}}$

그러므로, $f(n)=4^{n}$임을 구할 수 있다.

여기서, $f(a_{4})=4^{a_{4}}$이고, 일반항 $a_{n}$에 의해서 $a_{4}=5$,

따라서, $f(a_{4})=4^{5}=1024,$ $f(5)=4^{5}=1024$이므로,

$\therefore$ $f(a_{4})+f(5)=2048$

유형 2

예제 1

준 식 $a_{n+1}=2a_{n}+2^{n}$에서 양변을 $2^{n+1}$로 나누어주면,

${\frac {a_{n+1}}{2^{n+1}}}={\frac {a_{n}}{2^{n}}}+{\frac {1}{2}}$ 이는, 첫째 항이 ${\frac {a_{1}}{2}}$이고, 공차가 ${\frac {1}{2}}$인 등차수열이다.

따라서, ${\frac {a_{n}}{2^{n}}}={\frac {a_{1}}{2}}+(n-1)\cdot {\frac {1}{2}}$이고, 주어진 조건에 의하여 식을 정리하면,

${\frac {a_{n}}{2^{n}}}={\frac {n}{2}}$이므로, $a_{n}=n\cdot 2^{n-1}$ 이때, $a_{n}=f(n)\cdot 2^{n}$를 만족하므로,

$f(n)={\frac {n}{2}}$임을 구할 수 있다. 여기서, $f(a_{3})={\frac {a_{3}}{2}}$이고, 일반항 $a_{n}$에 의해서 $a_{3}=12$,

따라서, $f(a_{3})=6,$ $a_{f(2)}=a_{1}=1$이므로,

$\therefore$ $f(a_{3})-{a_{f(2)}}^{2}=5$

논술형 문제 [1]~[3]

[1]

양의 정수 $n$에 대하여 집합 $A_{n}$은 다음과 같다.

$A_{n}=\{(x_{1},$ $x_{2},$ $\cdots ,$ $x_{n})$ $|$ $x_{i}\in \{1$, $2,$ $3,$ $4\},$ $x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}$은 $5$의 배수$\}$

이때, $A_{n}$의 원소의 개수는 $a_{n}$이다.

위 조건에 의해서 $A_{3}=\{(x_{1},$ $x_{2},$ $x_{3})$ $|$ $x_{i}\in \{1$, $2,$ $3,$ $4\},$ $x_{1}+x_{2}+x_{3}$은 $5$의 배수$\}$이다.

I) $x_{1}+x_{2}+x_{3}=5$일 때,

$A_{3}=\{$$(1,$ $1,$ $3)$$,$ $(1,$ $2,$ $2)$$,$ $(1,$ $3,$ $1)$$,$ $(2,$ $1,$ $2)$$,$ $(2,$ $2,$ $1)$$,$ $(3,$ $3,$ $1)$$\}$이므로,

이때의 원소의 개수는 $6$개이다.

II) $x_{1}+x_{2}+x_{3}=10$일 때,

$A_{3}=\{$$(2,$ $4,$ $4)$$,$ $(3,$ $3,$ $4)$$,$ $(3,$ $4,$ $3)$$,$ $(4,$ $2,$ $4)$$,$ $(4,$ $3,$ $3)$$,$ $(4,$ $4,$ $2)$$\}$이므로,

이때의 원소의 개수는 $6$개이다.

따라서, $a_{3}$의 값은 $12$이다.

[2]

$A_{n}=\{(x_{1},$ $x_{2},$ $\cdots ,$ $x_{n})$ $|$ $x_{i}\in \{1$, $2,$ $3,$ $4\},$ $x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}$은 $5$의 배수$\}$에서

조건을 고려하지 않았을 때 만들어 질 수 있는 모든 순서쌍들의 개수는 $4^{n}$개이다.

이때, 조건을 만족하는 순서쌍들의 개수는 $a_{n}$이므로,

조건을 만족하지 못하는 순서쌍들의 개수는 $(4^{n}-a_{n})$개로 나타낼 수 있다.

또한, $4^{n}-a_{n}=b_{n}$으로 치환하여 정리하면 다음과 같은 등식이 성립한다.

$a_{n}+b_{n}=4^{n}$ ( $b_{n}$은 조건을 만족하지 못하는 순서쌍들의 개수 )

여기서, 예시를 들어 관계식을 유도해보면,

순서쌍 $(1,3)$은 문제에서 주어진 조건을 만족하지 못한다. 따라서 이는 $b_{2}$에 해당된다.

그러나, 순서쌍 $(1,3)$에 $1$을 더해주면, 주어진 조건을 만족하므로 이는 $a_{3}$에 해당된다.

순서쌍 $(4,4,4)$에서도 마찬가지이다. 순서쌍 $(4,4,4)$는 주어진 조건을 만족하지 못하므로 이는 $b_{3}$에 해당된다.

그러나, 순서쌍 $(4,4,4)$에 $3$을 더해주면, 주어진 조건을 만족하므로 이는 $a_{4}$에 해당된다.

이러한 예시들에 의하여 다음과 같은 관계식이 성립함을 알 수 있다.

$a_{n}=b_{n-1}$ $(n\geq 2)$ 이때, $a_{n}+b_{n}=4^{n}$를 만족하므로, $a_{n}$과 $a_{n-1}$의 관계식은

$a_{n-1}+a_{n}=4^{n-1}$ $(n\geq 2)$

[3]

$[2]$에서 구한 $a_{n}$과 $a_{n-1}$의 관계식을 이용하여 $a_{n}$을 $n$에 대한 식으로 나타낼 수 있다.

관계식 $a_{n+1}=-a_{n}+4^{n}$에서 양변을 $4^{n+1}$로 나누어 주면,

${\frac {a_{n+1}}{4^{n+1}}}=-{\frac {1}{4}}\cdot {\frac {a_{n}}{4^{n}}}+{\frac {1}{4}}$이고, 이는 계차의 초항을 첫째 항으로 갖고 공비가 $-{\frac {1}{4}}$인 등비수열이므로,

${\frac {a_{n}}{4^{n}}}={\frac {a_{1}}{4}}+{\frac {({\frac {a_{2}}{4^{2}}}-{\frac {a_{1}}{4}})\cdot \{1-(-{\frac {1}{4}})^{n-1}\}}{1-(-{\frac {1}{4}})}}$이다. $a_{1}=0$, $a_{2}=4$이므로,

${\frac {a_{n}}{4^{n}}}={\frac {1}{5}}\cdot \left\{1-\left(-{\frac {1}{4}}\right)^{n-1}\right\}$이다.

따라서, ${a_{n}}={\frac {4}{5}}\cdot \{4^{n-1}-({-1})^{n-1}\}$이다.