위상수학/위상합의 보편 성질의 약간 더 강한 형태

이 글은 위상합의 보편 성질보다 살짝 더 강한 결과를 소개한다. 이는 교재의 연습 문제이다.

서론

두 위상 공간 $X_{1}$, $X_{2}$의 위상합은 다음 보편 성질을 만족시키는, 위상 공간 $X$와 두 연속 함수 $i_{1}\colon X_{1}\to X$, $i_{2}\colon X_{2}\to X$의 튜플이다.

• 임의의 위상 공간 $Y$ 및 두 연속 함수 $f_{1}\colon X_{1}\to Y$, $f_{2}\colon X_{2}\to Y$에 대하여, $fi_{1}=f_{1}$, $fi_{2}=f_{2}$인 (즉, 다음 그림이 가환인) 유일한 연속 함수 $f\colon X\to Y$가 존재한다.

  ${\begin{matrix}X&\xleftarrow {i_{2}} &X_{2}\\{\scriptstyle i_{1}}\uparrow &\searrow {\scriptstyle f}&\downarrow {\scriptstyle f_{2}}\\X_{1}&{\xrightarrow[{f_{1}}]{}}&Y\end{matrix}}$

두 위상 공간의 위상합은 위상동형 아래 유일하게 존재한다. 따라서 위상합을 간단히 $X_{1}\sqcup X_{2}$로 표기할 수 있다. 포함 함수 $i_{1}$와 $i_{2}$는 매장이므로, $i_{1}(X_{1})$와 $i_{2}(X_{2})$는 단순히 $X_{1}$와 $X_{2}$로 표기하여도 좋다. 이 경우, 위상합 $X_{1}\sqcup X_{2}$는 집합으로서 분리합집합이며, $U\subset X_{1}\sqcup X_{2}$가 열린집합일 필요충분조건은 $U\cap X_{1}$가 $X_{1}$의 열린집합이며 $U\cap X_{2}$가 $X_{2}$의 열린집합인 것이다.

위상 공간이 두 부분 공간의 위상합일 조건은 다음과 같이 기술할 수 있다.

정리 1. $X$가 위상 공간이며, $X_{1},X_{2}\subset X$가 두 부분 집합이라고 하자. $i_{1}\colon X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}$, $i_{2}\colon X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}$, $j_{1}\colon X_{1}\to X$, $j_{2}\colon X_{2}\to X$가 포함 함수라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ㈀ $X=X_{1}\sqcup X_{2}$. 즉, $fi_{1}=j_{1}$, $fi_{2}=j_{2}$로 정의되는 유일한 함수 $f\colon X_{1}\sqcup X_{2}\to X$는 위상동형사상이다.
• ㈁ $X=X_{1}\cup X_{2}$이며, $X_{1}\cap X_{2}=\varnothing$이며, $X_{1}$와 $X_{2}$는 $X$의 열린집합이다.

증명. ㈀ ⇒ ㈁. $X_{1}$가 $X_{1}$의 열린집합이며 $\varnothing$이 $X_{2}$의 열린집합이므로, $X_{1}$는 $X_{1}\sqcup X_{2}$의 열린집합이다. 마찬가지로 $X_{2}$도 열린집합이다. ㈁ ⇒ ㈀. $U_{1}$가 $X_{1}$의 열린집합이며 $U_{2}$가 $X_{2}$의 열린집합이라고 하자. 그렇다면 $X_{1}$, $X_{2}$가 $X$의 열린집합이므로 $U_{1}$, $U_{2}$는 $X$의 열린집합이다. 따라서 $U_{1}\cup U_{2}$는 $X$의 열린집합이다.

주요 결과

두 위상 공간 $X_{1}$, $X_{2}$의 위상합 $X_{1}\sqcup X_{2}$과 위상 공간 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X_{1}\sqcup X_{2}\to Y$가 주어졌다고 하자. 위상합의 보편 성질에 따라, 만약 제한 $f\upharpoonright X_{1}\colon X_{1}\to Y$, $f\upharpoonright X_{2}\colon X_{2}\to Y$가 모두 연속 함수라면, $f$ 역시 연속 함수이다. 이는 다음 정리의 특수한 경우이다.

정리 2. $X$가 위상 공간이며, $X_{1},X_{2}\subset X$가 부분 집합이라고 하자. 또한 $X=X_{1}\cup X_{2}$, $X\setminus (X_{1}\cap X_{2})=X_{1}\setminus X_{2}\sqcup X_{2}\setminus X_{1}$이라고 하자. $Y$가 위상 공간이며, $f\colon X\to Y$가 함수라고 하자. 만약 $f\upharpoonright X_{1}$, $f\upharpoonright X_{2}$가 연속 함수라면, $f$는 연속 함수이다.

주요 결과의 증명

보조정리 1. $X$, $Y$가 위상 공간이며, $x\in X$이며, $f\colon X\to Y$이며, $A\in {\mathcal {N}}(x)$가 $x$의 근방이라고 하자. 만약 $f\upharpoonright A$가 $x$에서 연속이라면, $f$ 역시 $x$에서 연속이다.

증명. 임의의 근방 $U\in {\mathcal {N}}(f(x))$에 대하여, $f^{-1}(U)\cap A$는 $x$의 $A$에서의 근방이다. 따라서 $f^{-1}(U)\cap A=N\cap A$인 $N\in {\mathcal {N}}(x)$가 존재한다. $A\in {\mathcal {N}}(x)$이므로 $f^{-1}(U)\cap A\in {\mathcal {N}}(x)$이며, 따라서 $f^{-1}(U)\in {\mathcal {N}}(x)$이다.

정리 2의 증명. 임의의 $x\in X$에 대하여 $f$가 $x$에서 연속임을 보인다. 만약 $x\in \operatorname {int} X_{1}$이거나 $x\in \operatorname {int} X_{2}$라면, 보조정리 1에 따라 $f$는 $x$에서 연속이다. 만약 $x\not \in \operatorname {int} X_{1}$이며 $x\not \in \operatorname {int} X_{2}$라면, $x\in X_{1}\cap X_{2}$임을 보일 수 있다. $x\not \in X_{1}\cap X_{2}$라고 가정하자. 편의상 $x\in X_{1}\setminus X_{2}$라고 하자. 정리 1에 따라 $X_{1}\setminus X_{2}$는 $X\setminus (X_{1}\cap X_{2})$의 열린집합이므로 $X_{1}\setminus X_{2}=V\setminus (X_{1}\cap X_{2})$인 열린집합 $V\subset X$가 존재한다. 따라서 $x\in V\subset X_{1}$이며, 이는 $x\not \in \operatorname {int} X_{1}$와 모순이다.

이제 임의의 근방 $U\in {\mathcal {N}}(f(x))$가 주어졌다고 하자. $f\upharpoonright X_{1}$, $f\upharpoonright X_{2}$가 $x$에서 연속이므로, $f(M\cap X_{1})\subset U$, $f(N\cap X_{2})\subset U$인 $M,N\in {\mathcal {N}}(x)$가 존재한다. 그렇다면 $M\cap N\in {\mathcal {N}}(x)$이며, $f(M\cap N)\subset U$이다. 즉, $f$가 $x$에서 연속이다.