위상수학/위상합의 보편 성질의 약간 더 강한 형태

이 글은 위상합의 보편 성질보다 살짝 더 강한 결과를 소개한다. 이는 교재의 연습 문제이다.

서론

두 위상 공간 $X_1$, $X_2$의 위상합은 다음 보편 성질을 만족시키는, 위상 공간 $X$와 두 연속 함수 $i_1:X_1\to X$, $i_2:X_2\to X$의 튜플이다.

• 임의의 위상 공간 $Y$ 및 두 연속 함수 $f_1:X_1\to Y$, $f_2:X_2\to Y$에 대하여, $f{i}_1=f_1$, $f{i}_2=f_2$인 (즉, 다음 그림이 가환인) 유일한 연속 함수 $f:X\to Y$가 존재한다.

  $\begin{array}{ccc}X& \stackrel{i_2}{\leftarrow }& X_2\\ i_1\uparrow & \searrow f& \downarrow f_2\\ X_1& \underset{f_1}{\overset{}{\to }}& Y\end{array}$

두 위상 공간의 위상합은 위상동형 아래 유일하게 존재한다. 따라서 위상합을 간단히 $X_1\bigsqcup X_2$로 표기할 수 있다. 포함 함수 $i_1$와 $i_2$는 매장이므로, $i_1(X_1)$와 $i_2(X_2)$는 단순히 $X_1$와 $X_2$로 표기하여도 좋다. 이 경우, 위상합 $X_1\bigsqcup X_2$는 집합으로서 분리합집합이며, $U\subset X_1\bigsqcup X_2$가 열린집합일 필요충분조건은 $U\cap X_1$가 $X_1$의 열린집합이며 $U\cap X_2$가 $X_2$의 열린집합인 것이다.

위상 공간이 두 부분 공간의 위상합일 조건은 다음과 같이 기술할 수 있다.

정리 1. $X$가 위상 공간이며, $X_1,X_2\subset X$가 두 부분 집합이라고 하자. $i_1:X_1\to X_1\bigsqcup X_2$, $i_2:X_2\to X_1\bigsqcup X_2$, $j_1:X_1\to X$, $j_2:X_2\to X$가 포함 함수라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ㈀ $X=X_1\bigsqcup X_2$. 즉, $f{i}_1=j_1$, $f{i}_2=j_2$로 정의되는 유일한 함수 $f:X_1\bigsqcup X_2\to X$는 위상동형사상이다.
• ㈁ $X=X_1\cup X_2$이며, $X_1\cap X_2=\varnothing$이며, $X_1$와 $X_2$는 $X$의 열린집합이다.

증명. ㈀ ⇒ ㈁. $X_1$가 $X_1$의 열린집합이며 $\varnothing$이 $X_2$의 열린집합이므로, $X_1$는 $X_1\bigsqcup X_2$의 열린집합이다. 마찬가지로 $X_2$도 열린집합이다. ㈁ ⇒ ㈀. $U_1$가 $X_1$의 열린집합이며 $U_2$가 $X_2$의 열린집합이라고 하자. 그렇다면 $X_1$, $X_2$가 $X$의 열린집합이므로 $U_1$, $U_2$는 $X$의 열린집합이다. 따라서 $U_1\cup U_2$는 $X$의 열린집합이다.

주요 결과

두 위상 공간 $X_1$, $X_2$의 위상합 $X_1\bigsqcup X_2$과 위상 공간 $Y$ 사이의 함수 $f:X_1\bigsqcup X_2\to Y$가 주어졌다고 하자. 위상합의 보편 성질에 따라, 만약 제한 $f\upharpoonright X_1:X_1\to Y$, $f\upharpoonright X_2:X_2\to Y$가 모두 연속 함수라면, $f$ 역시 연속 함수이다. 이는 다음 정리의 특수한 경우이다.

정리 2. $X$가 위상 공간이며, $X_1,X_2\subset X$가 부분 집합이라고 하자. 또한 $X=X_1\cup X_2$, $X\setminus (X_1\cap X_2)=X_1\setminus X_2\bigsqcup X_2\setminus X_1$이라고 하자. $Y$가 위상 공간이며, $f:X\to Y$가 함수라고 하자. 만약 $f\upharpoonright X_1$, $f\upharpoonright X_2$가 연속 함수라면, $f$는 연속 함수이다.

주요 결과의 증명

보조정리 1. $X$, $Y$가 위상 공간이며, $x\in X$이며, $f:X\to Y$이며, $A\in 𝒩(x)$가 $x$의 근방이라고 하자. 만약 $f\upharpoonright A$가 $x$에서 연속이라면, $f$ 역시 $x$에서 연속이다.

증명. 임의의 근방 $U\in 𝒩(f(x))$에 대하여, $f^{-1}(U)\cap A$는 $x$의 $A$에서의 근방이다. 따라서 $f^{-1}(U)\cap A=N\cap A$인 $N\in 𝒩(x)$가 존재한다. $A\in 𝒩(x)$이므로 $f^{-1}(U)\cap A\in 𝒩(x)$이며, 따라서 $f^{-1}(U)\in 𝒩(x)$이다.

정리 2의 증명. 임의의 $x\in X$에 대하여 $f$가 $x$에서 연속임을 보인다. 만약 $x\in \mathrm{int}{X}_1$이거나 $x\in \mathrm{int}{X}_2$라면, 보조정리 1에 따라 $f$는 $x$에서 연속이다. 만약 $x\in ̸\mathrm{int}{X}_1$이며 $x\in ̸\mathrm{int}{X}_2$라면, $x\in X_1\cap X_2$임을 보일 수 있다. $x\in ̸X_1\cap X_2$라고 가정하자. 편의상 $x\in X_1\setminus X_2$라고 하자. 정리 1에 따라 $X_1\setminus X_2$는 $X\setminus (X_1\cap X_2)$의 열린집합이므로 $X_1\setminus X_2=V\setminus (X_1\cap X_2)$인 열린집합 $V\subset X$가 존재한다. 따라서 $x\in V\subset X_1$이며, 이는 $x\in ̸\mathrm{int}{X}_1$와 모순이다.

이제 임의의 근방 $U\in 𝒩(f(x))$가 주어졌다고 하자. $f\upharpoonright X_1$, $f\upharpoonright X_2$가 $x$에서 연속이므로, $f(M\cap X_1)\subset U$, $f(N\cap X_2)\subset U$인 $M,N\in 𝒩(x)$가 존재한다. 그렇다면 $M\cap N\in 𝒩(x)$이며, $f(M\cap N)\subset U$이다. 즉, $f$가 $x$에서 연속이다.