위상수학/위상합의 보편 성질의 약간 더 강한 형태

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이 글은 위상합의 보편 성질보다 살짝 더 강한 결과를 소개한다. 이는 교재[1]:68, Exercise 3.2.5의 연습 문제이다.

서론[편집]

위상 공간 , 위상합은 다음 보편 성질을 만족시키는, 위상 공간 와 두 연속 함수 , 튜플이다.

  • 임의의 위상 공간 및 두 연속 함수 , 에 대하여, , 인 (즉, 다음 그림이 가환인) 유일한 연속 함수 가 존재한다.

두 위상 공간의 위상합은 위상동형 아래 유일하게 존재한다. 따라서 위상합을 간단히 로 표기할 수 있다. 포함 함수 매장이므로, 는 단순히 로 표기하여도 좋다. 이 경우, 위상합 는 집합으로서 분리합집합이며, 가 열린집합일 필요충분조건은 의 열린집합이며 의 열린집합인 것이다.

위상 공간이 두 부분 공간의 위상합일 조건은 다음과 같이 기술할 수 있다.

정리 1. 위상 공간이며, 가 두 부분 집합이라고 하자. , , , 가 포함 함수라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • . 즉, , 로 정의되는 유일한 함수 위상동형사상이다.
  • 이며, 이며, 열린집합이다.

증명. ㈀ ⇒ ㈁. 의 열린집합이며 의 열린집합이므로, 의 열린집합이다. 마찬가지로 도 열린집합이다. ㈁ ⇒ ㈀. 의 열린집합이며 의 열린집합이라고 하자. 그렇다면 , 의 열린집합이므로 , 의 열린집합이다. 따라서 의 열린집합이다.

주요 결과[편집]

위상 공간 , 위상합 과 위상 공간 사이의 함수 가 주어졌다고 하자. 위상합의 보편 성질에 따라, 만약 제한 , 가 모두 연속 함수라면, 역시 연속 함수이다. 이는 다음 정리의 특수한 경우이다.

정리 2. 위상 공간이며, 가 부분 집합이라고 하자. 또한 , 이라고 하자. 가 위상 공간이며, 가 함수라고 하자. 만약 , 연속 함수라면, 는 연속 함수이다.

주요 결과의 증명[편집]

보조정리 1. , 위상 공간이며, 이며, 이며, 근방이라고 하자. 만약 에서 연속이라면, 역시 에서 연속이다.

증명. 임의의 근방 에 대하여, 에서의 근방이다. 따라서 가 존재한다. 이므로 이며, 따라서 이다.

정리 2의 증명. 임의의 에 대하여 에서 연속임을 보인다. 만약 이거나 라면, 보조정리 1에 따라 에서 연속이다. 만약 이며 라면, 임을 보일 수 있다. 라고 가정하자. 편의상 라고 하자. 정리 1에 따라 의 열린집합이므로 인 열린집합 가 존재한다. 따라서 이며, 이는 와 모순이다.

이제 임의의 근방 가 주어졌다고 하자. , 에서 연속이므로, , 가 존재한다. 그렇다면 이며, 이다. 즉, 에서 연속이다.

참고 문헌[편집]

  1. Brown, Ronald (2006). 《Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid》 (영어) 3판. ISBN 1-4196-2722-8. Zbl 1093.55001.