에르미트 항등식 예제

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에르미트 항등식에 관한 몇 가지 예제를 해결해 봅시다.

 예제 1

실수 $x$에 대하여 다음 식이 성립할 때, $[100x]$의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

$[x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\cdots +[x+\frac{91}{100}]=546$

예제 2

$x$에 대한 방정식

$x[x]+183=[x]+[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+\cdots +[x+\frac{n-1}{n}]+\left[x^2\right]$의 실근의 개수를 $f(n)$이라 할 때,

$f(1)+f(2)+f(3)$의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

예제 풀이

예제 풀이에 앞서 위와 같은 예제를 풀기 위해서는 에르미트 항등식에 대하여 알아야 한다.

그렇다면, 에르미트 항등식에 대하여 간단히 알아보도록 하자.

에르미트 항등식

정의

임의의 실수 $x$와 양의 정수 $n$에 대하여 항상 성립하는 항등식으로, 이는 다음과 같다.

$\sum _{k=0}^{n-1}[x+\frac{k}{n}]=[x]+[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+\cdots +[x+\frac{n-1}{n}]=[nx]$

(단, $[x]$는 가우스 기호이다. 이는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

예제 1

$[x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\cdots +[x+\frac{91}{100}]=546$

위 식의 좌변은 $73$개의 항으로 이루어져 있다.

좌변 첫 번째 항부터 $i$ 번째 항까지는 $7$의 값을,

($i$+$1$) 번째 항부터 73번 째 항까지는 $8$의 값을 가진다고 가정하면,

$7\times i+8\times (73-i)=546$이 성립하므로, $i=38$임을 찾을 수 있다.

그러므로, $[x]=[x+\frac{1}{100}]=[x+\frac{2}{100}]=\cdots =[x+\frac{56}{100}]=7$,

$[x+\frac{57}{100}]=[x+\frac{58}{100}]=[x+\frac{59}{100}]=\cdots =[x+\frac{99}{100}]=8$이다.

따라서, $[100x]=7\times 57+8\times (100-57)=743$이다.

예제 2

$x[x]+183=[x]+[x+\frac{1}{n}]+[x+\frac{2}{n}]+\cdots +[x+\frac{n-1}{n}]+\left[x^2\right]$

위 식을 에르미트 항등식에 의하여 정리해보면 다음과 같다.

$x[x]+183=[nx]+\left[x^2\right]$

여기서, $x=m+\alpha$라고 하자. (단, $m$은 정수, $0\le \alpha <1$이다.)

준 식의 양변에 $x=m+\alpha$를 대입하여 정리해보면,

$nm+m\alpha +[n\alpha ]=183$이 성립한다. ($m\alpha$는 정수)
$1)$ $n=1$일 때,

$m+m\alpha =183$ 이를 $\alpha$에 대하여 정리하면,

$\alpha =\frac{183-m}{m}$이다. 이때, $0\le \alpha <1$이므로,

$0\le \frac{183-m}{m}<1$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

$\frac{183}{2}<m\le 183$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 $92$개 이므로,

$\therefore$ $f(1)=92$
$2)$ $n=2$일 때,

$2m+m\alpha +[2\alpha ]=183$

i) $0\le \alpha <\frac{1}{2}$일 때, $\alpha =\frac{183-2m}{m}$이므로,

$0\le \frac{183-2m}{m}<\frac{1}{2}$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

$\frac{2}{5}\cdot 183<m\le \frac{183}{2}$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 18개 이다.

ii) $\frac{1}{2}\le \alpha <1$일 때, $\alpha =\frac{182-2m}{m}$이므로,

$\frac{1}{2}\le \frac{182-2m}{m}<1$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

$\frac{182}{3}<m\le \frac{2}{5}\cdot 182$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 12개 이다.

$\therefore$ $f(2)=18+12=30$
$3)$ $n=3$일 때,

$3m+m\alpha +[3\alpha ]=183$

i) $0\le \alpha <\frac{1}{3}$일 때, $\alpha =\frac{183-3m}{m}$이므로,

$0\le \frac{183-3m}{m}<\frac{1}{3}$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

$\frac{3}{10}\cdot 183<m\le 61$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 7개 이다.

ii) $\frac{1}{3}\le \alpha <\frac{2}{3}$일 때, $\alpha =\frac{182-3m}{m}$이므로,

$\frac{1}{3}\le \frac{182-3m}{m}<\frac{2}{3}$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

$\frac{3}{11}\cdot 182<m\le \frac{3}{10}\cdot 182$ 이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 5개 이다.

iii) $\frac{2}{3}\le \alpha <1$일 때, $\alpha =\frac{181-3m}{m}$이므로,

$\frac{2}{3}\le \frac{181-3m}{m}<1$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

$\frac{181}{4}<m\le \frac{3}{11}\cdot 181$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 4개 이다.

$\therefore$ $f(3)=7+5+4=16$

따라서, $f(1)+f(2)+f(3)=138$