에르미트 항등식 예제

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에르미트 항등식에 관한 몇 가지 예제를 해결해 봅시다.

 예제 1[편집]

실수 에 대하여 다음 식이 성립할 때, 의 값을 구하시오. (단, 를 넘지 않는 최대의 정수이다.)


예제 2[편집]

에 대한 방정식

의 실근의 개수를 이라 할 때,

의 값을 구하시오. (단, 를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

예제 풀이[편집]

예제 풀이에 앞서 위와 같은 예제를 풀기 위해서는 에르미트 항등식에 대하여 알아야 한다.

그렇다면, 에르미트 항등식에 대하여 간단히 알아보도록 하자.

에르미트 항등식[편집]

정의[편집]

임의의 실수 와 양의 정수 에 대하여 항상 성립하는 항등식으로, 이는 다음과 같다.

(단, 는 가우스 기호이다. 이는 를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

예제 1[편집]

위 식의 좌변은 개의 항으로 이루어져 있다.

좌변 첫 번째 항부터 번째 항까지는 의 값을,

(+) 번째 항부터 73번 째 항까지는 의 값을 가진다고 가정하면,

이 성립하므로, 임을 찾을 수 있다.

그러므로, ,

이다.

따라서, 이다.

예제 2[편집]

위 식을 에르미트 항등식에 의하여 정리해보면 다음과 같다.

여기서, 라고 하자. (단, 은 정수, 이다.)

준 식의 양변에 를 대입하여 정리해보면,

이 성립한다. (는 정수)
일 때,

이를 에 대하여 정리하면,

이다. 이때, 이므로,

이고, 이를 에 대하여 정리하면,

이고, 이를 만족시키는 의 개수는 개 이므로,


일 때,

i) 일 때, 이므로,

이고, 이를 에 대하여 정리하면,

이고, 이를 만족시키는 의 개수는 18개 이다.

ii) 일 때, 이므로,

이고, 이를 에 대하여 정리하면,

이고, 이를 만족시키는 의 개수는 12개 이다.


일 때,

i) 일 때, 이므로,

이고, 이를 에 대하여 정리하면,

이고, 이를 만족시키는 의 개수는 7개 이다.

ii) 일 때, 이므로,

이고, 이를 에 대하여 정리하면,

이고, 이를 만족시키는 의 개수는 5개 이다.

iii) 일 때, 이므로,

이고, 이를 에 대하여 정리하면,

이고, 이를 만족시키는 의 개수는 4개 이다.

따라서,