에르미트 항등식 예제

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에르미트 항등식에 관한 몇 가지 예제를 해결해 봅시다.

 예제 1

실수 $x$에 대하여 다음 식이 성립할 때, $[100x]$의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

$\left[x+{\frac {19}{100}}\right]+\left[x+{\frac {20}{100}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {91}{100}}\right]=546$

예제 2

$x$에 대한 방정식

$x[x]+183=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]+\left[x^{2}\right]$의 실근의 개수를 $f(n)$이라 할 때,

$f(1)+f(2)+f(3)$의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

예제 풀이

예제 풀이에 앞서 위와 같은 예제를 풀기 위해서는 에르미트 항등식에 대하여 알아야 한다.

그렇다면, 에르미트 항등식에 대하여 간단히 알아보도록 하자.

에르미트 항등식

정의

임의의 실수 $x$와 양의 정수 $n$에 대하여 항상 성립하는 항등식으로, 이는 다음과 같다.

$\sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=[nx]$

(단, $[x]$는 가우스 기호이다. 이는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

예제 1

$\left[x+{\frac {19}{100}}\right]+\left[x+{\frac {20}{100}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {91}{100}}\right]=546$

위 식의 좌변은 $73$개의 항으로 이루어져 있다.

좌변 첫 번째 항부터 $i$ 번째 항까지는 $7$의 값을,

($i$+$1$) 번째 항부터 73번 째 항까지는 $8$의 값을 가진다고 가정하면,

$7\times i+8\times (73-i)=546$이 성립하므로, $i=38$임을 찾을 수 있다.

그러므로, $[x]=\left[x+{\frac {1}{100}}\right]=\left[x+{\frac {2}{100}}\right]=\cdots =\left[x+{\frac {56}{100}}\right]=7$,

$\left[x+{\frac {57}{100}}\right]=\left[x+{\frac {58}{100}}\right]=\left[x+{\frac {59}{100}}\right]=\cdots =\left[x+{\frac {99}{100}}\right]=8$이다.

따라서, $[100x]=7\times 57+8\times (100-57)=743$이다.

예제 2

$x[x]+183=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]+\left[x^{2}\right]$

위 식을 에르미트 항등식에 의하여 정리해보면 다음과 같다.

$x[x]+183=[nx]+\left[x^{2}\right]$

여기서, $x=m+\alpha$라고 하자. (단, $m$은 정수, $0\leq \alpha <1$이다.)

준 식의 양변에 $x=m+\alpha$를 대입하여 정리해보면,

$nm+m\alpha +[n\alpha ]=183$이 성립한다. ($m\alpha$는 정수)
$1)$ $n=1$일 때,

$m+m\alpha =183$ 이를 $\alpha$에 대하여 정리하면,

$\alpha ={\frac {183-m}{m}}$이다. 이때, $0\leq \alpha <1$이므로,

$0\leq {\frac {183-m}{m}}<1$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

${\frac {183}{2}}<m\leq 183$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 $92$개 이므로,

$\therefore$ $f(1)=92$
$2)$ $n=2$일 때,

$2m+m\alpha +[2\alpha ]=183$

i) $0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}$일 때, $\alpha ={\frac {183-2m}{m}}$이므로,

$0\leq {\frac {183-2m}{m}}<{\frac {1}{2}}$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

${\frac {2}{5}}\cdot 183<m\leq {\frac {183}{2}}$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 18개 이다.

ii) ${\frac {1}{2}}\leq \alpha <1$일 때, $\alpha ={\frac {182-2m}{m}}$이므로,

${\frac {1}{2}}\leq {\frac {182-2m}{m}}<1$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

${\frac {182}{3}}<m\leq {\frac {2}{5}}\cdot 182$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 12개 이다.

$\therefore$ $f(2)=18+12=30$
$3)$ $n=3$일 때,

$3m+m\alpha +[3\alpha ]=183$

i) $0\leq \alpha <{\frac {1}{3}}$일 때, $\alpha ={\frac {183-3m}{m}}$이므로,

$0\leq {\frac {183-3m}{m}}<{\frac {1}{3}}$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

${\frac {3}{10}}\cdot 183<m\leq 61$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 7개 이다.

ii) ${\frac {1}{3}}\leq \alpha <{\frac {2}{3}}$일 때, $\alpha ={\frac {182-3m}{m}}$이므로,

${\frac {1}{3}}\leq {\frac {182-3m}{m}}<{\frac {2}{3}}$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

${\frac {3}{11}}\cdot 182<m\leq {\frac {3}{10}}\cdot 182$ 이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 5개 이다.

iii) ${\frac {2}{3}}\leq \alpha <1$일 때, $\alpha ={\frac {181-3m}{m}}$이므로,

${\frac {2}{3}}\leq {\frac {181-3m}{m}}<1$이고, 이를 $m$에 대하여 정리하면,

${\frac {181}{4}}<m\leq {\frac {3}{11}}\cdot 181$이고, 이를 만족시키는 $m$의 개수는 4개 이다.

$\therefore$ $f(3)=7+5+4=16$

따라서, $f(1)+f(2)+f(3)=138$