수리학/상사 법칙

모형과 원형의 상사성

• 기하학적 상사성 : 형태만의 상사, 크기의 비
• 운동학적 상사성 : 기하학적 상사시에 유속(시간)의 비가 동일할 때 성립
• 동역학적 상사성 : 기하학적, 운동학적 상사성이 성립하는 흐름에서 각 대응점의 힘의 비가 같고 유체의 질량비가 같을 때 성립.

특별상사의 법칙

프루드의 법칙

중력과 관성력이 흐름을 지배하는 경우(개수로, 오리피스, 위어, 하천 모형 실험, 댐, 여수로, 수공 구조물 등)

암기하지 않고 유도하면 됨.

$Fr_{p}=Fr_{m}$

${\frac {V_{p}}{\sqrt {g_{p}D_{p}}}}={\frac {V_{m}}{\sqrt {g_{m}D_{m}}}}$

양변을 모델값으로 나누면

${\frac {V_{r}}{\sqrt {g_{r}D_{r}}}}=1$

g_r = 1이므로

${\frac {V_{r}}{\sqrt {D_{r}}}}=1$

$\therefore V_{r}={\sqrt {D_{r}}}={\sqrt {L_{r}}}$

이를 이용해 T_r, Q_r을 계산할 수 있다.

결과식

$T_{r}={\frac {T_{m}}{T_{p}}}={\sqrt {L_{r}}}$

$V_{r}={\frac {V_{m}}{V_{p}}}={\sqrt {L_{r}}}$

$Q_{r}={\frac {Q_{m}}{Q_{p}}}={L_{r}}^{\frac {5}{2}}$

• r : 실물(p)에 대한 모델(m)의 비(ratio)$\left({\frac {m}{p}}\right)$
• m : 모델값
• p : 실물값(practical)
• L_r : 축척

레이놀드의 법칙

• 관수로와 같이 마찰력, 점성력이 흐름을 지배하는 경우
• 레이놀즈 수 : 점성력에 대한 관성력의 상대적인 크기
• $Re={\frac {VD}{\nu }}$

역시 암기하지 않고 유도하면 됨.

$Re_{p}=Re_{m}$

${\frac {V_{p}D_{p}}{\nu _{p}}}={\frac {V_{m}D_{m}}{\nu _{m}}}$

양변을 모델값으로 나눠주면

${\frac {V_{r}D_{r}}{\nu _{r}}}=1$

$\nu _{r}=1$이므로

$\therefore V_{r}={D_{r}}^{-1}={L_{r}}^{-1}$

웨버의 법칙

• 위어의 월류 수심이 작을 때, 또는 파고가 극히 작은 파동 등, 표면장력이 유체운동을 지배하는 경우

왜곡모형의 상사

X, Y방향의 축척이 다른 경우 왜곡모형이라고 함. X, Y방향으로 동일 축척으로 줄였을 때 너무 값이 작아져서? X방향 따로, Y방향 따로 축척을 주는 경우에 해당함.

위의 특별상사 법칙에서 쓴대로 하면 되는데 Q = AV를 사용할 때 A값이 L²이 아니라 XY라고 바꿔서 계산해주는 등으로 해주면 된다.