수리학/동수역학

유동의 정의와 분류

• 유속은 단면의 위치에 따라 다르나 일반적으로 단면 전체에 대한 평균값 사용. =평균 유속(mean velocity)
• 유선(stream line) : 임의 순간에 각 점의 속도벡터에 접하는 곡선
• 유적선(pathline, path of particle) : 유체 입자 실제의 이동 경로

연속 방정식

수직한 단면에 변화하는 흐름이 통과하는 경우

사각형 단면에 변화하는 흐름이 통과하는 경우

$dQ=Vbdy=aybdy$

$\therefore Q=\int _{0}^{h}abydy=\left[ab\cdot {\frac {y^{2}}{2}}\right]_{0}^{h}$

평균 유속 $V={\frac {Q}{A}}={\frac {\frac {abh^{2}}{2}}{bh}}={\frac {ah}{2}}$

원형 단면에 변화하는 흐름이 통과하는 경우

$dQ=udA=u\cdot 2\pi rdr$

${\begin{aligned}Q&=\int _{A}dQ=\int _{0}^{R}u\cdot 2\pi rdr\\&=2\pi \int _{0}^{R}u_{c}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)rdr\\&={\frac {u_{c}\pi R^{2}}{2}}\end{aligned}}$

유속 $V={\frac {Q}{A}}={\frac {1}{2}}u_{c}$

베르누이 방정식

펌프

펌프에 의한 동력

$P_{p}=\gamma QE_{p}$

펌프의 효율

$\eta _{p}={\frac {P_{p}}{P_{p\ act}}}\left({\text{펌 프 의 효 율 }}={\frac {\text{이 론 동 력 }}{\text{실 제 동 력 }}}\right),\quad P_{p\ act}={\frac {P_{p}}{\eta _{p}}}$

펌프에 대해 요구되는 실제 동력은 손실로 인해 이론 동력보다 커야함.

터빈

터빈에 의한 동력

$P_{T}=\gamma QE_{T}$

터빈의 효율

$\eta _{T}={\frac {P_{T\ act}}{P_{T}}}\left({\text{터 빈 의 효 율 }}={\frac {\text{실 제 동 력 }}{\text{이 론 동 력 }}}\right),\quad P_{T\ act}=\eta _{T}P_{T}$

터빈은 유체로부터 동력을 얻어내는 경우이므로, 터빈에서 출력되는 동력은 실제 동력보다 작다.

동수경사선과 에너지 경사선

• 에너지 경사선(Energy Grade Lines; E.G.L) : 총 에너지 수두. H의 높이와 같다.
  • 완전유체에서는 마찰에 의한 에너지 손실이 없으므로 H값 일정(에너지선은 기준면과 평행)
  • $EGL={\frac {V^{2}}{2g}}+{\frac {p}{\gamma }}+z=H$
• 동수경사선(Hydraulic Grade Lines; H.G.L) : 위치수두와 압력수두 합을 연결한 선
  • 유속 감소에 따라 서서히 증가
  • $HGL={\frac {p}{\gamma }}+z=EGL-{\frac {V^{2}}{2g}}$

베르누이 정리의 응용

토리첼리의 정리

소오리피스로부터의 유출

♣♣♣

${\frac {p_{1}}{\gamma }}+{\frac {{V_{1}}^{2}}{2g}}+z_{1}={\frac {p_{2}}{\gamma }}+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}+z_{2}$

$0+0+z_{1}=0+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}+z_{2}$

$V_{2}={\sqrt {2g(z_{1}-z_{2})}}={\sqrt {2gh}}=V_{id}$(이론 유속)

$V_{act}=C_{v}V_{id}$

• C_v : 유속계수

$C_{c}={\frac {A_{vc}}{A_{2}}}\approx (0.6\leq C_{c}\leq 0.7)$

$Q_{id}=A_{2}V_{id}=A_{2}{\sqrt {2gh}}$

${\begin{aligned}Q_{act}&=A_{vc}V_{act}\\&=C_{c}\cdot C_{v}\cdot A_{2}\cdot V_{id}\\&=C_{d}\cdot Q_{id}\end{aligned}}$

유량계수 $C_{d}=C_{c}\cdot C_{v}$

실제 유량 $Q_{act}=C_{d}\cdot A_{vc}{\sqrt {2gh}}$

작은 오리피스는 수량을 측정하거나 조절할 목적으로 쓰임.

피토관

${\frac {p_{1}}{\gamma }}+{\frac {{V_{1}}^{2}}{2g}}+z_{1}={\frac {p_{2}}{\gamma }}+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}+z_{2}$

양변에 γ를 곱하면 압력을 나타내는 항으로 표현할 수 있다.

${\frac {\rho {V_{1}}^{2}}{2}}+p_{1}+\gamma z_{1}={\frac {\rho {V_{2}}^{2}}{2}}+p_{2}+\gamma z_{2}$

${\frac {\rho V^{2}}{2}}+p+\gamma z=constant$

동압력(유속에 의한 압력) + 정압력 + 위치압력

오른쪽 그림에서 물체 선단에는 속도가 0이 되는 정체점 S가 생긴다. O와 S에 베르누이 정리를 쓰면
${\frac {\rho {V_{0}}^{2}}{2}}+p_{0}={\frac {\rho {V_{s}}^{2}}{2}}+p_{s}$

$p_{s}=p_{0}+{\frac {\rho {V_{0}}^{2}}{2}}$

정체점에서의 압력 = 정압력 + 동압력 = 총압력

총압력과 정압력을 구하고 이것으로부터 점유속을 측정하는 장치를 피토관이라 함.

왼쪽 관이 피토관이며, 관 내 유속은 $V={\sqrt {2g\Delta h}}$

벤추리미터

목 부분에서 관이 축소되어 속도는 증가하고 압력이 감소됨. 이때의 압력강하를 측정하여 유량을 구하는 장치.

어려울 것 없이 베르누이 방정식, 유량, 압력의 관계를 이용하면 됨. 식 외울 필요 없음.

${\frac {{v_{1}}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{1}}{\gamma }}+z_{1}={\frac {{v_{2}}^{2}}{2g}}+{\frac {p_{2}}{\gamma }}+z_{2}$

${\frac {{v_{2}}^{2}-{v_{1}}^{2}}{2g}}={\frac {p_{1}-p_{2}}{\gamma }}$

$v_{1}={\frac {A_{2}}{A_{1}}}v_{2}$, ${\frac {p_{1}-p_{2}}{\gamma }}=\left({\frac {\gamma _{m}}{\gamma }}-1\right)h$

${\begin{aligned}v_{2}&={\frac {1}{\sqrt {1-{A_{2}}^{2}/{A_{1}}^{2}}}}{\sqrt {2gh\left({\frac {\gamma _{m}}{\gamma }}-1\right)}}\\&={\frac {A_{1}}{\sqrt {{A_{1}}^{2}-{A_{2}}^{2}}}}{\sqrt {2gh(S-1)}}\\\end{aligned}}$

$Q=A_{2}v_{2}={\frac {A_{1}A_{2}}{\sqrt {{A_{1}}^{2}-{A_{2}}^{2}}}}{\sqrt {2gh(S-1)}}$

실제 유량은 유량계수 C_d를 곱해서 구함.

$Q'=C_{d}Q$

운동량 방정식

검사체적 내 물질에 작용하는 모든 힘 $\sum {\vec {F}}$

= 검사체적 내의 질량에 작용하는 체력(body force) + 검사표면에 작용하는 모든 표면력(surface force)

정상류에 대하여, (가정 : 정상류, 유속은 단면 내에서 일정)

$\sum {\vec {F}}=\sum _{out}(\rho Q){\vec {V}}-\sum _{in}(\rho Q){\vec {V}}$

정지판에 미치는 충격력

♣♣♣

분류가 고정된 수직평판에 작용하는 경우

질량 보존 법칙 $\rho _{1}V_{1}A_{1}+\rho _{2}V_{2}A_{2}=\rho _{0}V_{0}A_{0}$

비압축성 유체이면 $Q_{1}+Q_{2}=Q_{0}$

운동량 방정식 $\sum F_{x}=\sum _{out}(\rho V_{n}A)V_{x}-\sum _{in}(\rho V_{n}A)V_{x}$

x방향 수평력은 - R_x 뿐이고, (V_x)_out = 0이므로

$-R_{x}=-\rho QV_{0}$

경사진 분류가 고정된 수직평판에 작용하는 경우

$V_{1}=V\sin \theta ,\quad V_{2}=0$이므로

$F={\frac {\gamma _{w}}{g}}QV\sin \theta ={\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}\sin \theta$

$\therefore F={\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}\sin \theta$

분류가 곡면판에 충돌(θ < 90도)

x방향에 대해서 V₁ = V, V₂ = V cos θ이므로

$F_{x}={\frac {\gamma _{w}}{g}}Q(V-V\cos \theta )={\frac {\gamma _{w}}{g}}QV(1-\cos \theta )={\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}(1-\cos \theta )$

$\therefore F_{x}={\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}(1-\cos \theta )$

y방향에 대해서 V₁ = 0, V₂ = V sin θ이므로

$F_{y}={\frac {\gamma _{w}}{g}}Q(0-V\sin \theta )=-{\frac {\gamma _{w}}{g}}QV\sin \theta =-{\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}\sin \theta$

$\therefore F_{y}=-{\frac {\gamma _{w}}{g}}AV^{2}\sin \theta$

충격력 $F={\sqrt {{F_{x}}^{2}+{F_{y}}^{2}}}$

$\alpha =\tan ^{-1}\left({\frac {F_{y}}{F_{x}}}\right)$

분류가 곡면판에 충돌(θ = 180도)

$\cos \theta =\cos(180-\theta _{0})=-\cos \theta _{0}$

$F={\frac {\gamma _{w}}{g}}Q(V+V\cos \theta _{0})={\frac {\gamma _{w}}{g}}QV(1+\cos \theta _{0})$

여기서 $\cos \theta =\cos 180^{\circ }=-1$이므로

$F={\frac {2\gamma _{w}}{g}}QV={\frac {2\gamma _{w}}{g}}AV^{2}$

오일러의 운동 방정식과 연속 방정식

1차원 흐름의 연속 방정식

• 정상류이면 ρVA = 일정
• 정상류이면서 비압축성이면 VA = Q = 일정

연속방정식의 일반형

• 정상류이면 $u{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial y}}+w{\frac {\partial \rho }{\partial z}}+\rho \left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)=0$
• 정상류이면서 비압축성이면 ${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0$

오일러 운동방정식의 적분과 베르누이 방정식

1차원 베르누이 방정식

• 1차원 오일러 운동방정식을 적분하면 베르누이 방정식(에너지 방정식)
• ${\frac {V^{2}}{2g}}+{\frac {p}{\gamma }}+z=H$
• 속도 수두 + 압력 수두 + 위치 수두 = 전수두
• velocity head + pressure head + elevation head = total head
• 주의점(가정)
  • 정상류
  • 비압축성
  • 비점성(마찰 없음)
  • 한 유선을 따른 흐름

속도포텐셜과 항력

♣♣

항력(Drag force; D) : 흐르는 유체 속에 있는 물체가 받는 힘을 유체의 저항력 또는 항력이라 함.

$D=C_{d}A{\frac {\rho V^{2}}{2}},\quad C_{d}={\frac {24}{Re}}$

• A : 흐름 방향의 물체 투영 면적

오리피스와 위어

오리피스 유량 계산

작은 오리피스

수량을 측정하거나 조절할 목적으로 사용.

오리피스 수두 오차와 유량 오차의 관계

$Q=CA{\sqrt {2gH}}$를 H에 대해 미분하면,

${\frac {dQ}{dH}}=CA{\sqrt {2g}}\cdot {\frac {1}{2}}H^{-{\frac {1}{2}}}$을 유량 Q로 나누어주면

${\frac {dQ}{Q}}={\frac {CA{\sqrt {2g}}\cdot {\frac {1}{2}}H^{-{\frac {1}{2}}}dH}{CA{\sqrt {2gH}}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dH}{H}}$

$\therefore {\frac {dQ}{Q}}={\frac {1}{2}}{\frac {dH}{H}}$

사각형 위어

Francis 유량 산정 공식(실험식)

♣♣

수축에 의한 유량 감소를 고려한 식(C = 0.623)으로 가정.

$Q=1.84\left(b-{\frac {nh}{10}}\right)h^{\frac {3}{2}}$

• n : 단수축 수(양단이면 2, 일단이면 1, 수축이 없으면 0)

광정 위어

broad crest weir. 월류수심 h에 비해 위어 마루 폭 L이 큰 경우.

위어 상류의 한 지점과, 위어에서 한계수심 나타나는 한 지점사이에 베르누이 정리 사용하여 유량 공식 유도.

${\begin{aligned}H=h+{\frac {{V_{a}}^{2}}{2g}}&=h_{c}+{\frac {{V_{c}}^{2}}{2g}}\\&={\frac {2}{3}}H+{\frac {{V_{c}}^{2}}{2g}}\\\end{aligned}}$

$V_{c}={\sqrt {\frac {2gH}{3}}}$

${\begin{aligned}Q=bh_{c}V_{c}&={\frac {2bH}{3}}{\sqrt {\frac {2gH}{3}}}\\&=1.7bH^{\frac {3}{2}}\\\end{aligned}}$

사다리꼴 광정 위어

홈마 공식(실험에 의한 것)

$Q=Cb{\sqrt {2g}}h^{\frac {3}{2}}$

참고 문헌

• 김경호 (2010). 《수리학》. 한티미디어. 
• 전일권 외 (2009). 《수리학》. 동화기술.