상하수도 공학/관수로 수리학

베르누이 방정식

♣♣♣

${\begin{aligned}E&=\rho gz_{1}+p_{1}+{\frac {\rho {V_{1}}^{2}}{2}}=\rho gz_{2}+p_{2}+{\frac {\rho {V_{2}}^{2}}{2}}\\&={\text{위 치 압 력 + 정 압 력 + 동 압 력 (동 수 압 )}}\\&={\text{위 치 압 력 + 정 체 압 력 }}\end{aligned}}$

♣♣♣

${\begin{aligned}{\text{전 수 두 }}&=z_{1}+{\frac {p_{1}}{\gamma }}+{\frac {{V_{1}}^{2}}{2g}}=z_{2}+{\frac {p_{2}}{\gamma }}+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}\\&={\text{위 치 수 두 + 압 력 수 두 + 속 도 수 두 }}\\\end{aligned}}$

• 각 항은 길이의 차원. 단위중량 당 에너지를 의미.

에너지경사, 동수경사

• 에너지선, 동수경사선의 차이는 일반적으로 ${\frac {V^{2}}{2g}}$ (속도수두만큼)
• 에너지선은 흐름이 일어나도 에너지 손실이 없다면 수평을 유지.

확장형 베르누이 방정식

$z_{1}+{\frac {p_{1}}{\gamma }}+{\frac {{V_{1}}^{2}}{2g}}+E_{p}=z_{2}+{\frac {p_{2}}{\gamma }}+{\frac {{V_{2}}^{2}}{2g}}+E_{T}+h_{L}$

E_p : 유체의 단위중량에 대해 펌프가 해준 일[L]

E_T : 단위중량의 유체가 터빈에 해준 일[L]

h_L : 손실 수두

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1.

수면이 변하지 않고, 손실수두가 ${\frac {3V^{2}}{2g}}$일 때 관을 통한 유량은?

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풀이

베르누이 정리에서 ${\frac {{V_{0}}^{2}}{2g}}+\left(6+{\frac {0.1}{2}}\right)={\frac {V^{2}}{2g}}+0+{\frac {3V^{2}}{2g}}$

V₀ = 0

$V={\sqrt {\frac {6.05\times g}{2}}}=5.45m/s$

Q = AV = ${\frac {\pi \times 0.1^{2}}{4}}\times 5.45m/s=0.043m^{3}/s$

관수로 유속, 전단응력

자세한 유도 과정 : w:관수로#관수로의 층류 흐름

하겐 - 푸아죄유의 법칙

관수로에 층류가 흐를 때

관벽 마찰응력 : 마찰응력분포는 직선식

$\tau _{0}={\frac {\gamma _{w}h_{L}}{2l}}r={\frac {\Delta P}{2l}}r$

유속 : 유속분포는 포물선

$u={\frac {\gamma h_{L}}{4\mu l}}R^{2}\left(1-{\frac {r^{2}}{R^{2}}}\right)$

최대유속은 평균유속의 2배 $u_{max}=2V_{m}$

유량 : 이차방정식을 적분하는 과정에서 분모에 8이 되는 것임.

${\color {red}Q={\frac {\pi \gamma _{w}h_{L}}{8\mu l}}r^{4}}$

1.

지름이 4cm인 원관 속에 섭씨 20도의 물이 흐른다. 관로 길이 1m 구간에서 압력강하가 0.1g/cm²이었을 때 관벽의 마찰응력은?

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$\tau _{0}={\frac {\Delta P}{2l}}\cdot r={\frac {0.1g/cm^{2}}{2\times 100cm}}\times 2cm=0.001g/cm^{2}$

마찰 손실 수두

Darcy-Weisbach 공식

♣♣♣

$h_{L}=f{\frac {l}{D}}{\frac {V^{2}}{2g}}$

마찰손실계수

암기. 뭐에 영향받는지 물어봄

• 층류 : $f={\frac {64}{Re}}$
• 난류
  • 매끈한 관, 거친 관에 따라 다름.
  • 매끈한 관은 레이놀즈 수만의 함수.
  • 거친관은 상대조도만의 함수

소손실

♣♣

$h_{m}=f_{m}\cdot {\frac {V^{2}}{2g}}$

• f_m : 손실 계수

입구손실 f_e = 0.5

출구손실 f_o = 1.0

문제에 안 써있다고 입구, 출구손실 깜빡하고 계산 안 하면 안 됨!!!!!!!!

유속 경험식

Manning 공식

조도계수는 줌.

n은 조도 계수, R은 경심, I는 동수 경사라 할 때

$V={\frac {1}{n}}R^{\frac {2}{3}}I^{\frac {1}{2}}$

• $f={\frac {12.7gn^{2}}{D^{\frac {1}{3}}}}={\frac {124.6n^{2}}{D^{\frac {1}{3}}}}(m\cdot sec)$

Chezy 공식

개수로, 관수로에 사용.

$V=C{\sqrt {RI}}$

• C는 평균 유속 계수. $C={\frac {1}{n}}R^{\frac {1}{6}}={\sqrt {\frac {8g}{f}}}$
• g는 중력가속도
• f는 마찰 손실 계수

Hazen-Williams 공식

관 직경 결정하는 문제

유량 2.315m³/s를 운반하는 송수관을 매설한다. AC 관 길이 10km, CB 관 길이 5km, 정수지와 배수지 수위차 15m, C점과 배수지 수위차 8m일 때 C점에 부압이 되지 않도록 관경을 결정하라. Hazen-Williams 유속계수 C = 120이며, 유속은 다음과 같다.

$V=0.84935CR^{0.63}I^{0.54}$

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AC, CB 같은 관경인 D = 1.5m로 계산해보면

${\frac {2.315}{{\frac {\pi }{4}}\times 1.5^{2}}}=0.84935\times 120\times \left({\frac {1.5}{4}}\right)^{0.63}\times I^{0.54}$

$I=9.96\times 10^{-4}$

$h=15000m\times 9.96\times 10^{-4}=14.94m$

C점에서 압력을 확인하기 위해, C에서 B로 갈 때 수두손실을 계산해본다.

5000m갈 때 동수경사 $I=9.96\times 10^{-4}$이므로

$h=5000m\times 9.96\times 10^{-4}=4.98m$

이는 원래 8m만큼 손실이 생겨야되는데 3.02m만큼 모자란 값이다.

동수경사선을 보면 C점의 위치수두 8m보다 아래쪽에 있다. 압력수두는 따라서 - 값이므로 부압이 생겨버린다.

h를 키우려면 동수경사가 커져야 하고, 동수경사를 키우기 위해서는 관경을 작게 해주면 된다.(동수경사의 정의, 평균유속공식에서 확인 가능)

CB의 관경 D = 1.3m로 해보자.

${\frac {2.315}{{\frac {\pi }{4}}\times 1.3^{2}}}=0.84935\times 120\times \left({\frac {1.3}{4}}\right)^{0.63}\times I^{0.54}$

$I=0.002={\frac {h}{L}}={\frac {h}{5000m}}$

$\therefore h=10m$

즉 C에서 동수경사선은 B로부터 10m 위에 있다. 동수경사는 위치수두와 압력수두의 합인데, 압력수두가 + 임을 확인 가능하다. C에서의 부압문제는 해결되었다.

AC에서의 손실수두는 15 - 10 = 5m로 해주면 된다. 동수경사를 계산하면

$I={\frac {h}{L}}={\frac {5m}{10000m}}=0.0005$로 하면 좋다.

관경을 1.8m로 하면

$I=4.1\times 10^{-4}$

${\begin{aligned}\therefore h=LI&=10000m\times 4.1\times 10^{-4}\\&=4.1m\\\end{aligned}}$

전 손실은 10 + 4.1 = 14.1m로 15m 이하이므로 흐름이 발생한다.(동수경사로도 생각해보면 됨. 정수지 수면에서 동수경사선이 15m에 있음(배수지 수면을 기준면으로 할 때). A점은 15m보다 낮아야 흐름이 발생한다)

원관 수압

$pD=\sigma _{ta}\cdot 2t$

p: 수압

σ_ta: 허용 인장 응력

t: 강관 두께

사이펀

관의 일부가 동수경사선보다 위에 있는 관수로.

두 수조 수위가 같아질 때까지 대기압이 작용하여 물이 이동함.

역사이펀

관거가 하천, 철도, 지하매설물 하부 등을 횡단하는 경우 상, 하류 관거보다 낮은 곳에 설치한 관. 사이펀을 거꾸로 한 형태라 역사이펀(inverted siphon)이라 함.

역사이펀 손실수두

$h=iL{\color {red}+1.5}{\frac {V^{2}}{2g}}+\alpha$

• i : 관거 내 유속에 대한 동수경사
• L : 역사이펀 관거 길이
• α : 여유율[L]

수격작용

수격작용 결과

압력이 낮아지면서 공기방울이 생기면서 프로펠러 표면에 충격을 준다

• 압력상승으로 인한 관로, 밸브, 펌프 파괴
• 역류에 의해 펌프, 원동기 파손
• 압력저하가 큰 경우 수주분리가 일어나고, 재결합에 의해 이상고압이 일어나 관로 파괴
• 압력 저하에 의한 관 압궤
• 관 진동으로 인한 이음 탈락

대책

플라이휠. 펌프에 달린 건 아니고 스팀엔진에 달린 거임. 박물관 사진.

• 펌프에 플라이 휠 부착
• 토출관 쪽에 압력조절수조(조압수조, surge tank) 설치
• 토출측 관로에 안전밸브, 공기밸브 설치
• air vessel(공기실)

관망해석

♣♣♣ 아주 중요!! 소수점 왕창 전부다 쓰자. 안전빵으로. 안 그러면 절점에서 유입, 유출유량 합이 0 안 나오더라고...ㅠㅠㅠ

관망 해석의 조건

관망 해석의 조건은 세 가지가 있다.

1. 폐회로를 따라 한쪽 방향으로 측정한 손실 수두의 합은 0이어야 한다.$(\Sigma h_{L}=0)$ 이때 측정 방향과 흐름 방향이 일치한다면 h_L>0, 반대라면 h_L<0으로 나타낸다.
2. 한 절점에서 유입 유량과 유출 유량은 같아야 한다.(연속방정식)
3. 각각의 관에 대해 수두손실과 유량은 적당한 함수 관계가 유지되어야 한다.

유량과 손실수두의 관계

손실수두 h_L과 유량 Q의 관계는 Darcy-Weisbach 공식과 관수로의 평균 유속 경험식에 의해 일반적으로 다음과 같다.

${\begin{aligned}h_{L}&=f{\frac {l}{d}}{\frac {V^{2}}{2g}}\\&=f{\frac {l}{d}}{\frac {1}{2g}}\left({\frac {4Q}{\pi d^{2}}}\right)^{2}\\&=k_{1}Q^{2}\end{aligned}}$

$h_{L}=kQ^{n}$

k는 관의 제원에 의해 결정되는 값이고 n은 Darcy-Weisbach 공식과 Manning 공식 사용 시에는 n=2, Hazen-Williams 공식 적용시에는 n=1.85를 쓴다.

유량 계산

관망의 유량 계산은 하디 크로스법을 사용한다. 한개의 폐회로에 대해서 유량이 흐르는 경우 손실수두 합은 다음 식으로 나타낼 수 있다.

$\Delta Q=-{\frac {\Sigma kQ'^{n}}{\Sigma knQ'^{n-1}}}$

여기서 Q'은 실제 유량 Q에 대한 가정 유량이다.$(Q=Q'+\Delta Q)$ 이 식을 기본으로 하여 가정유량을 축차보정함으로써 실제 유량을 근사적으로 구하는 것이 하디 크로스법이다. 절차는 다음과 같다.

1. '관망 해석의 조건' 2번을 만족하도록 각각의 관에 흐르는 유량 Q'을 가정한다.
2. n, k값을 결정한다. 각 관에 대하여, 가정 유량 Q'에 대한 손실수두 h_L' 즉, $kQ'^{n},knQ'^{n-1}$을 계산한다. 이때 $kQ'^{n}$은 음수가 될 수 있다!(흐름방향과 측정방향이 일치하면 양, 아니면 음) $knQ'^{n-1}$은 무조건 양수다!
3. 각각의 폐회로에 대해 $\Sigma h_{L}'(=\Sigma kQ'^{n}),\Sigma knQ'^{n-1}$을 계산한다.
4. 3번의 결과를 이용하여 $\Delta Q$를 구한다. 이 값이 0이 아닌 경우 Q'(양수값. 스칼라양인 듯?)에 $\Delta Q$를 더하거나 빼서 1차 수정 유량을 정한다. 가정 유량의 방향이 시계방향이면 보정유량을 더해주고, 반시계방향이라면 보정유량을 빼주면 1차 수정 유량을 구할 수 있다. 2개 회로 모두에 속하는 관에 대해서는 이중으로 보정해준다.
5. 다시 2번 과정으로 돌아가서 $\Delta Q$가 어느정도 허용한도 내에 들어올 때까지 계산을 반복한다.