사용자:Gcd822/토목기사 오답노트/응용역학/보의 응력

최대 전단응력

♣♣♣ 14-2, 14-3, 15-2, 17-2, 17-4, 18-1, 18-3, 19-3

$\tau ={\frac {VG}{Ib}}$

G : 보 단면에서 τ를 구하려는 위치 바깥쪽 단면적을 중립축에 대해 1차 모멘트 취한 값.

b : 최대 전단응력 구하려면 최소폭 씀(83, 00)

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13-2, 14-3, 17-2

우측 그림과 같은 단면에 전단력 60t이 작용할 때 최대 전단응력을 구하시오. 치수 단위는 cm이다.

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V = 60000 kg

최대 전단응력은 단면 중앙에서 발생한다. 단면 일차 모멘트(도심 아님!!)도 중앙 바깥면에 대해 계산.

${\begin{aligned}G&=A_{1}{\overline {y_{1}}}+A_{2}{\overline {y_{2}}}\\&=(30\times 10)\times (15+5)+(15\times 10)\times 7.5\\&=7125cm^{3}\end{aligned}}$

만약에 플랜지와 복부 경계면에서 최대전단응력을 구하라고 한다면 위에 구한 G에서 $A_{2}{\overline {y_{2}}}$는 제외하고 계산함(83)

${\begin{aligned}I&={\frac {30\times 50^{3}}{12}}-2\times {\frac {10\times 30^{3}}{12}}\\&=267500cm^{4}\\\end{aligned}}$

b = 10cm (최소폭)

${\begin{aligned}\tau &={\frac {60000\times 7125}{267500\times 10}}\\&=160kg/cm^{2}\\\end{aligned}}$

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예제 1 토목기사 기출 92, 18-3 학교 시험에도 잘 나오는 기본 내용.

오른쪽 그림에서 가로방향 중심을 지나는 축을 X라 할 때, X축이하 단면의, X축에 대한 단면일차모멘트 G_X를 구하시오.

풀이

단면 일차 모멘트를 구하려면 부분부분 나눠서 계산해야 한다. 즉 X축으로부터 면적과 도심까지의 거리를 구하기 쉬운 도형들로 나눠서 구해야 한다.$(G_{x}=\int _{A}ydA=A_{1}y_{1}+A_{2}y_{2}+A_{3}y_{3})$

각각의 치수는 왼쪽 그림에 mm단위로 나타나 있다. 값을 대입하여 G_X를 계산한다.

${\begin{aligned}G_{X}&=A_{1}y_{1}+A_{2}y_{2}+A_{3}y_{3}\\&=-50\cdot 240\cdot 120-400\cdot 60\cdot 270-50\cdot 240\cdot 120\\&=-9360000mm^{3}=-9360cm^{3}\end{aligned}}$

이럴 때는 최소폭 b는 2 X 50

단면 형상별 최대전단응력

직사각형 단면(19-1, 19-2)

$\tau _{max}={\frac {3}{2}}{\frac {V}{A}}=1.5\tau _{mean}$

원형 단면(16-2)

$\tau _{max}={\frac {4}{3}}{\frac {V}{A}}$