사용자:Gcd822/토목기사 오답노트/응용역학/단면의 성질

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적분 기호 속에 들어가는 x, y는 y, x축으로부터 미소요소의 도심까지 수직거리이다!

도심

13-1, 16-2

그림에서 바닥면으로부터 도심을 계산하면?

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플랜지, 복부로 나눠서 계산한다.

바닥면으로부터 도심까지 거리를 계산한다.

${\begin{aligned}{\bar {y}}&={\frac {\sum G}{\sum A}}\\&={\frac {7\times 3\times 8.5+3\times 7\times 3.5}{7\times 3+3\times 7}}\\&=6cm\end{aligned}}$

단면이차모멘트

오른쪽 T형 단면에서 중립축에 대한 단면이차모멘트를 구하면?

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플랜지부분, 복부 나눠서 평행축 정리를 적용해 계산 후 더해준다.

플랜지에 대해선 잘 구했는데 복부에 대해선 틀리게 계산했었다.

플랜지에 대하여

${\begin{aligned}I_{f}&={\frac {7\cdot 3^{3}}{12}}+7\times 3\times 2.5^{2}\\&=147cm^{4}\\\end{aligned}}$

복부에 대한 계산을 잘못하지 않도록 주의

복부에 대하여

${\begin{aligned}I_{w}&={\frac {3\cdot 7^{3}}{12}}+3\times 7\times {\color {red}2.5^{2}}\\&=217cm^{4}\\\end{aligned}}$

$I=I_{f}+I_{w}=364cm^{4}$

16-1 기출

우측 그림에서 빗금친 부분의 x축에 대한 단면이차모멘트를 구하시오.

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$I_{x}=\int _{A}y^{2}dA$

dA를 구할건데 가로로 잘라야 함. 모멘트를 생각해보자.

$x={\sqrt {6y}}$

${\begin{aligned}dA&=(6-x)dy\\&=(6-{\sqrt {6y}})dy\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}I_{x}&=\int y^{2}(6-{\sqrt {6y}})dy\\&=\int _{0}^{6}(6y^{2}-{\sqrt {6}}y^{\frac {5}{2}})dy\\&=61.714\end{aligned}}$

단면 상승 모멘트

= 관성적(product of inertia). +, -, 0 모두 가능(15-1, 16-4, 17-2)

비대칭 단면일 때(일반식) (19-2)

$I_{xy}=\int _{A}xydA$

대칭 단면이지만 축이 단면 도심을 지나지 않을 때♣♣♣

${\color {red}I_{xy}=A\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}}}$

대칭 단면이면서, 축이 단면 도심을 지날 때(17-4)

축이 단면 도심을 지나면 단면상승모멘트 I_xy = 0

$I_{xy}=0$

비대칭 삼각형의 경우(13-3, 19-2)

$y=h-{\frac {h}{b}}x=h\left(1-{\frac {x}{b}}\right)$

$dA=ydx$

${\begin{aligned}I_{xy}=\int _{A}xydA&=\int _{0}^{b}x\left({\frac {y}{2}}\right)ydx\\&={\frac {h^{2}}{2}}\int _{0}^{b}x\left(1-{\frac {x}{b}}\right)^{2}dx\\&={\frac {b^{2}h^{2}}{24}}\end{aligned}}$

결론 식만 암기!

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1. 95, 17-4

오른쪽 그림에 대해 단면 상승 모멘트를 구하시오.

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풀이

${\begin{aligned}I_{xy}&=A\cdot {\bar {x}}\cdot {\bar {y}}\\&=36\times 3\times 3-16\times 4\times 4\\&=68\\\end{aligned}}$

참고 자료

• 전찬기 외 (2015). 《토목기사 필기 - 응용역학》. 성안당. 
• Gere, Goodno. 《SI 재료역학》 8판. 센게이지 러닝 코리아. 
• Nasreddin S. Elmezaini, Mechanics of Materials - Product of Inertia(pdf)