사용자:Gcd822/토목기사 오답노트/응용역학/구조물의 탄성변형

최소일의 정리

• 카스틸리아노 제 2정리의 특별한 경우이다.
• 부정정 구조물 반력이나 모멘트 반력 계산에 이용한다.

14-1, 17-4

변위가 일어나지 않는 점(지점)에서는 $\frac{\partial U_i}{\partial P_j}={\delta }_j$ 식에서 ${\delta }_j=0$(또는 고정 지점에서 ${\theta }_j=0$)이 되므로 $\frac{\partial U_i}{\partial P_j}=0,\frac{\partial U_i}{\partial M_j}=0$

탄성변형에너지

수직력에 의한 변형에너지

♣♣♣

전체 변형에너지 $U=\frac{P\cdot \delta }{2}$

$\delta =\frac{Pl}{EA}$이므로

$U={\int }_0^l\frac{P^2}{2EA}dx=\frac{1}{2EA}{\int }_0^l{P}^{2}dx=\frac{P^{2}l}{2EA}$

휨으로 인한 변형에너지

♣♣♣13-1, 14-1, 14-2, 14-3, 16-1, 16-2, 20-1+2

$\begin{array}{cc}U& =\frac{M\cdot \theta }{2}=\frac{M}{2}\cdot \frac{Ml}{EI}=\frac{M^{2}l}{2EI}\\ & ={\int }_0^l\frac{M^2}{2EI}dx=\frac{1}{2EI}{\int }_0^l{M}^{2}dx\\ \end{array}$

13-1, 14-3, 17-2, 18-1, 19-2

$\begin{array}{cc}U& =\frac{1}{2EI}\int M^{2}dx\\ & =\frac{1}{2EI}\int P^2{x}^{2}dx\\ & =\frac{P^2{L}^3}{6EI}\end{array}$

05-2, 11-1, 16-4

오른쪽 그림에서 휨에 의한 탄성에너지를 구하시오.

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먼저 반력을 구하고, 모멘트도까지 그린다.

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$\begin{array}{cc}U& =\frac{1}{2EI}({\int }_0^L(PL{)}^{2}dx+{\int }_0^L(-PL+Px{)}^{2}dx)\\ & =\frac{1}{2EI}[P^2{L}^2\cdot L+{\int }_0^L(P^2{L}^2+P^2{x}^2-2P^{2}Lx)dx]\\ & =\frac{1}{2EI}[P^2{L}^3+\cancel{P^2{L}^3}+\frac{P^2}{3}{L}^3-\cancel{P^2{L}^3}]\\ & =\frac{1}{2EI}\times \frac{4}{3}{P}^2{L}^3=\frac{2P^2{L}^3}{3EI}\end{array}$