사용자:Gcd822/토목기사 오답노트/응용역학/구조물의 탄성변형

최소일의 정리

• 카스틸리아노 제 2정리의 특별한 경우이다.
• 부정정 구조물 반력이나 모멘트 반력 계산에 이용한다.

14-1, 17-4

변위가 일어나지 않는 점(지점)에서는 ${\frac {\partial U_{i}}{\partial P_{j}}}=\delta _{j}$ 식에서 $\delta _{j}=0$(또는 고정 지점에서 $\theta _{j}=0$)이 되므로 ${\frac {\partial U_{i}}{\partial P_{j}}}=0,\quad {\frac {\partial U_{i}}{\partial M_{j}}}=0$

탄성변형에너지

수직력에 의한 변형에너지

♣♣♣

전체 변형에너지 $U={\frac {P\cdot \delta }{2}}$

$\delta ={\frac {Pl}{EA}}$이므로

$U=\int _{0}^{l}{\frac {P^{2}}{2EA}}dx={\frac {1}{2EA}}\int _{0}^{l}P^{2}dx={\frac {P^{2}l}{2EA}}$

휨으로 인한 변형에너지

♣♣♣13-1, 14-1, 14-2, 14-3, 16-1, 16-2, 20-1+2

${\begin{aligned}U&={\frac {M\cdot \theta }{2}}={\frac {M}{2}}\cdot {\frac {Ml}{EI}}={\frac {M^{2}l}{2EI}}\\&=\int _{0}^{l}{\frac {M^{2}}{2EI}}dx={\frac {1}{2EI}}\int _{0}^{l}M^{2}dx\\\end{aligned}}$

13-1, 14-3, 17-2, 18-1, 19-2

${\begin{aligned}U&={\frac {1}{2EI}}\int M^{2}dx\\&={\frac {1}{2EI}}\int P^{2}x^{2}dx\\&={\frac {P^{2}L^{3}}{6EI}}\end{aligned}}$

05-2, 11-1, 16-4

오른쪽 그림에서 휨에 의한 탄성에너지를 구하시오.

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먼저 반력을 구하고, 모멘트도까지 그린다.

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${\begin{aligned}U&={\frac {1}{2EI}}\left(\int _{0}^{L}(PL)^{2}dx+\int _{0}^{L}(-PL+Px)^{2}dx\right)\\&={\frac {1}{2EI}}\left[P^{2}L^{2}\cdot L+\int _{0}^{L}(P^{2}L^{2}+P^{2}x^{2}-2P^{2}Lx)dx\right]\\&={\frac {1}{2EI}}\left[P^{2}L^{3}+{\cancel {P^{2}L^{3}}}+{\frac {P^{2}}{3}}L^{3}-{\cancel {P^{2}L^{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2EI}}\times {\frac {4}{3}}P^{2}L^{3}={\frac {2P^{2}L^{3}}{3EI}}\end{aligned}}$