부정정

목차 : 구조역학

장단점

• 장점
  • 재료 절약
  • 구조적 안정성
  • 큰 강성, 작은 처짐
  • 조형미

• 단점
  • 2차 응력 : 지점 침하, 온도 변화
  • 해석 및 설계의 어려움

부정정 차수

평면 트러스 부정정 차수 N = m + r - 2j

m : 부재 수

r : 반력 수

j : 절점 수

평면 프레임 부정정 차수 N = 3m + r - 3j

예제

${\begin{aligned}N&=3m+r-3j\\&=3\times 2+4-3\times 3\\&=1\end{aligned}}$

부정정 구조의 해석

응력법

1. 부정정력 선택
2. 기본구조
3. 적합조건식 구성
4. 중첩

예제1

토목기사에도 나옴(07-2, 10-3, 14-2)

X = V_B로 부정정력을 선택, 기본구조를 그리면

적합조건식은

$\Delta _{B}+V_{B}\Delta _{bb}=0$

$\therefore V_{B}=-{\frac {\Delta _{B}}{\Delta _{bb}}}$

예제2

2경간 연속보

부정정력을 X = M_B로 선택하는 경우 기본구조는

여기서 $\theta _{B}={\frac {\Delta _{B}}{L}}+{\frac {\Delta _{B}-\Delta _{C}}{L}}$

적합조건식은

$\theta _{B}+M_{B}\theta _{bb}=0$

$\therefore M_{B}=-{\frac {\theta _{B}}{\theta _{bb}}}$

예제3

예제 2의 2경간 연속보에서

부정정력을 X = V_B로 선택하는 경우 기본구조

적합조건식 $\Delta _{B}={\frac {\Delta _{C}}{2}}+V_{B}\Delta _{bb}$

Δ_bb를 구하기 위하여

$\therefore V_{B}={\frac {1}{\Delta _{bb}}}\left(\Delta _{B}-{\frac {\Delta _{C}}{2}}\right)$

부정정 트러스의 해석

외적 부정정 트러스

풀이 과정이 부정정 보 해석 + 트러스 처짐 계산 할 줄 알면 된다. 이 과정들의 조합임.

마지막에 원래 구조 부재력 구할 때 반력 이용해서 트러스 부재력 직접 계산해도 되고, 표 이용해서 계산해도 됨.

F = F' + V₁ p

내적 부정정 트러스

1. 하나의 부재력을 부정정력으로 선택
2. 기본구조
3. 단위부재력을 가지는 가상구조에서 단면법 등을 이용해 부재력 계산. 나 단면법 많이 틀리니까 단면법 연습 더 해야돼!
4. 적합조건식 적용

혹시 모르니 연습해볼 것.

• 주의 : 기본구조 만들었을 때 제외한 부재는 마지막에 표 계산할 때 빼먹지 말고 다시 넣어줘야함!!! 보에서의 경우랑 헷갈리지 않게 조심. 내적 부정정 트러스 해석에서 단위부재력 재하하는 경우에는 부재를 없애지 않는다!

다차 부정정 트러스

다차 부정정 트러스를 풀다보면 일차 외적 부정정 트러스 해석과정도 헷갈리네. 특히 변위량 구할 때. 잘 구분하기.

근데 기말고사에 이 문제를 낼 것 같진 않다... 하나 푸는 데 4시간 정도 걸림....

풀이 과정 요약만 하면,

1. D점 반력, BG부재력을 부정정력으로 하여 기본구조. 부재력 계산
2. D점에 단위하중 재하 가상계(BG부재는 없는 상태). 부재력 계산
3. BG 부재에 단위부재력 재하 가상계(BG부재는 있는 상태). 부재력 계산
4. 적합조건식 이용, D점 반력, BG 부재력 계산.

적합조건식

$\Delta _{D}+\Delta _{DD}D_{y}+\Delta _{D,BG}F_{BG}=0$

$\Delta _{BG}+\Delta _{BG,D}D_{y}+\Delta _{BG,BG}F_{BG}=0$

$\Delta _{D}=\sum {\frac {{\overline {p_{D}}}FL}{EA}}$

$\Delta _{DD}=\sum {\frac {{\overline {p_{D}}}^{2}L}{EA}}$

$\Delta _{D,BG}=\sum {\frac {{\overline {p_{D}}}\cdot {\overline {p_{BG}}}L}{EA}}$

$\Delta _{BG}=\sum {\frac {{\overline {p_{BG}}}FL}{EA}}$

$\Delta _{BG,D}=\sum {\frac {{\overline {p_{D}}}\cdot {\overline {p_{BG}}}L}{EA}}$

$\Delta _{BG,BG}=\sum {\frac {{\overline {p_{BG}}}^{2}L}{EA}}$

원 구조 부재력 계산

$F=F'+{\overline {p_{D}}}D_{y}+{\overline {p_{BG}}}F_{BG}$

온도변화가 있는 트러스

외부하중 없고, 상현재만 온도 변화 있는 경우.

계산 절차

1. 지점 부정정력 X 선택. 외부하중 없으니 일단 F'은 생략
2. 해당 지점에 단위하중 재하. $\sum {\frac {\mu ^{2}L}{AE}}$ 계산
3. 온도변화가 있는 부재만 $\Delta L=\Delta t\cdot \alpha \cdot L\left(={\frac {F'L}{AE}}\right),\quad \mu \Delta L\left(={\frac {F'\mu L}{AE}}\right)$ 계산.
4. $\Delta _{B}+X\Delta _{bb}=0$ 이용해 X 계산.
5. 나머지 부재력 계산.

최소일의 원리

• 변위일치법과 근본적으로 유사
• 트러스나 합성구조물 해석에 효과적
• 온도변화, 지점침하, 제작오차 등으로 인한 응력 해석엔 적용 불가.
• 연속보나 골조해석엔 계산량 많아 부적합.
• 오늘날에는 모멘트 분배법, 컴퓨터 계산이 더 많이 활용됨

연습 더 하기!!

카스틸리아노의 2정리

$\Delta ={\frac {\partial U}{\partial P}}$

휨 부재에서

$U={\frac {1}{2}}\int {\frac {M^{2}}{EI}}dx$

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {\partial U}{\partial M}}{\frac {\partial M}{\partial P}}\\&=\int {\frac {M}{EI}}\left({\frac {\partial M}{\partial P}}\right)dx\\\end{aligned}}$

보 예제

트러스에서

트러스의 변형에너지

$U=\sum {\frac {F^{2}L}{2AE}}$

최소일의 원리 적용

${\frac {\partial U}{\partial T}}=\sum \left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right){\frac {FL}{AE}}=0$

예제1

이런 경우는 부재력을 T로 놓고 풀었고...

트러스 교량 예제

어렵네. 다시 풀었을 때 못 풀었음.

이런 경우는

1. 중앙 지점 제거 후 부재력 F' 계산
2. 하중 전부 제거, 중앙 지점 추가 후 부재력을 지점반력으로 표현.
3. 위 두 경우 부재력을 합친 게 F다.
4. ${\frac {\partial U}{\partial V_{B}}}=\sum \left({\frac {\partial F}{\partial V_{B}}}\right){\frac {FL}{AE}}=0$

전체적으로 보면 보에서 최소일의 원리 적용하듯이 지점반력으로 부재력을 표현한 뒤에, ${\frac {\partial U}{\partial V_{B}}}=\sum \left({\frac {\partial F}{\partial V_{B}}}\right){\frac {FL}{AE}}=0$를 계산해주는 것이다.

보, 케이블 같이 있을 때

${\frac {\partial U}{\partial T}}=\sum {\frac {\partial F}{\partial T}}{\frac {FL}{EA}}+\sum \int {\frac {\partial M}{\partial T}}{\frac {M}{EI}}dx=0$

예제

BD의 부재력 T로 놓고

전체를 트러스로 보고 부재력 구해서 계산 한번,

ABC를 보로 보고 모멘트 구해서 계산 한번.

두 개 합쳐서 다음 식으로 T 구함.

${\frac {\partial U}{\partial T}}=\sum {\frac {\partial F}{\partial T}}{\frac {FL}{EA}}+\sum \int {\frac {\partial M}{\partial T}}{\frac {M}{EI}}dx=0$