매트릭스 구조해석

상위 문서 : 구조역학

종류

• 응력법(Force Method) : 힘을 미지수로 하여 적합조건식 구성, 부재력 해석. 활용도 낮음.
  • 연성법(Flexibility method)
  • 적합법(Compatibility method)
• 변위법(Displacement method) : 변위를 미지수로 하여 평형방정식 구성, 부재력 해석. 일반적으로 응력법보다 미지수 개수가 많지만, 컴퓨터로 풀기 용이하기 때문에 더 중요하다.
  • 강성도법(Stiffness method)

응력법

$\Delta _{1}+\Delta _{11}R_{1}+\Delta _{12}R_{2}+\Delta _{13}R_{3}=0$

$\Delta _{2}+\Delta _{21}R_{1}+\Delta _{22}R_{2}+\Delta _{23}R_{3}=0$

$\Delta _{3}+\Delta _{31}R_{1}+\Delta _{32}R_{2}+\Delta _{33}R_{3}=0$

적합방정식

${\begin{Bmatrix}\Delta _{1}\\\Delta _{2}\\\Delta _{3}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{12}&\Delta _{13}\\\Delta _{21}&\Delta _{22}&\Delta _{23}\\\Delta _{31}&\Delta _{32}&\Delta _{33}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\R_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\end{Bmatrix}}$

{Δ} + [F]{R} = {0}

{Δ} : 외력에 의한 변위벡터

[F] : 연성계수(Flexibility coefficient) 행렬

$\therefore \{R\}=-[F]^{-1}\{\Delta \}$

변위법

강성도법

Stiffness method. 용수철을 생각했을 때 p의 힘을 주면 Δ의 변위가 생긴다고 하자. 이때 둘의 관계를 다음으로 나타낸다.

$p=k\Delta$

k : 단위변위를 발생시키기 위한 힘. 강성(stiffness)$={\frac {EA}{L}}$

EA : 축강성(Axial rigidity)

축력을 받는 부재의 강성방정식

${\begin{Bmatrix}p_{i}\\p_{j}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {EA}{L}}&-{\frac {EA}{L}}\\-{\frac {EA}{L}}&{\frac {EA}{L}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\Delta _{i}\\\Delta _{j}\end{Bmatrix}}$

휨부재의 강성방정식

${\begin{Bmatrix}q_{i}\\M_{i}\\q_{j}\\M_{j}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}&-{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}\\{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}\\-{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}\\{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}v_{i}\\\theta _{i}\\v_{j}\\\theta _{j}\end{Bmatrix}}$

휨-축력 부재의 강성방정식

${\begin{Bmatrix}p_{i}\\q_{i}\\M_{i}\\p_{j}\\q_{j}\\M_{j}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}{\frac {EA}{L}}}&0&0&{\color {red}-{\frac {EA}{L}}}&0&0\\0&{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}&0&-{\frac {12EI}{L^{3}}}&{\frac {6EI}{L^{2}}}\\0&{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}&0&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}\\{\color {red}-{\frac {EA}{L}}}&0&0&{\color {red}{\frac {EA}{L}}}&0&0\\0&-{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&0&{\frac {12EI}{L^{3}}}&-{\frac {6EI}{L^{2}}}\\0&{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}&0&-{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}u_{i}\\v_{i}\\\theta _{i}\\u_{j}\\v_{j}\\\theta _{j}\end{Bmatrix}}$

경사재 부재력 좌표변환

${\begin{Bmatrix}P\\Q\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$

경사재의 강성행렬

${\begin{bmatrix}P_{i}\\Q_{i}\\P_{j}\\Q_{j}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{i}\\V_{i}\\U_{j}\\V_{j}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}$ (for a truss element at angle β)

휨과 축력을 받는 경사재의 강성행렬

${\begin{Bmatrix}P_{i}\\Q_{i}\\M_{i}\\P_{j}\\Q_{j}\\M_{j}\end{Bmatrix}}=\left[{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}c^{2}{\frac {AE}{L}}+s^{2}{\frac {12EI}{L^{3}}}\\\hline sc\left({\frac {AE}{L}}-{\frac {12EI}{L^{3}}}\right)&s^{2}{\frac {AE}{L}}+c^{2}{\frac {12EI}{L^{3}}}&&Symmetric&\\\hline -s{\frac {6EI}{L^{2}}}&c{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}\\\hline -c^{2}{\frac {AE}{L}}-s^{2}{\frac {12EI}{L^{3}}}&-sc\left({\frac {AE}{L}}-{\frac {12EI}{L^{3}}}\right)&s{\frac {6EI}{L^{2}}}&c^{2}{\frac {AE}{L}}+s^{2}{\frac {12EI}{L^{3}}}\\\hline -sc\left({\frac {AE}{L}}-{\frac {12EI}{L^{3}}}\right)&-s^{2}{\frac {AE}{L}}-c^{2}{\frac {12EI}{L^{3}}}&-c{\frac {6EI}{L^{2}}}&sc\left({\frac {AE}{L}}-{\frac {12EI}{L^{3}}}\right)&s^{2}{\frac {AE}{L}}+c^{2}{\frac {12EI}{L^{3}}}\\\hline -s{\frac {6EI}{L^{2}}}&c{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {2EI}{L}}&s{\frac {6EI}{L^{2}}}&-c{\frac {6EI}{L^{2}}}&{\frac {4EI}{L}}\end{array}}\right]{\begin{Bmatrix}U_{i}\\V_{i}\\\theta _{i}\\U_{j}\\V_{j}\\\theta _{j}\end{Bmatrix}}$