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위키백과
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로 주어지는 함수
를
의 라플라스 변환(Lapalce Transform)이라고 합니다.
아래는 라플라스 변환과 관련된 문제에서 자주 등장하는 함수의 형태입니다. 이것을 숙지해두면 라플라스 변환의 응용에서 상당한 도움을 얻을 수 있습니다.
어떤 함수
의 라플라스 변환을
라고 하면,
- 초월함수(Exponential Function)
![{\displaystyle f(t)=e^{at}\Longrightarrow F(s)={\frac {1}{s-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc146405f42ea32c1fa36a961dac147c81bfdd67)
- 삼각함수(Trigonometric Function)
![{\displaystyle f(t)=\cos at\Longrightarrow F(s)={\frac {s}{s^{2}+a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c789faa8e651cbce2c8fee038e2f4c259a8aeb97)
![{\displaystyle f(t)=\sin at\Longrightarrow F(s)={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44eab1a3737f1e0b9ceb00fcb18e396ba3c67402)
![{\displaystyle f(t)=t^{n}\Longrightarrow F(s)={\frac {n!}{s^{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695c8ea6266f754b00351b96c8c3581d68220a44)
- 쌍곡선함수(Hyperbolic Function)
![{\displaystyle f(t)=\cosh at\Longrightarrow F(s)={\frac {s}{s^{2}-a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cff8d2a793ba0b2d6895a71b7430920842d1dd7)
![{\displaystyle f(t)=\sinh at\Longrightarrow F(s)={\frac {a}{s^{2}-a^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a88bb1d351c118568d3da819ee01203a2daead2)
- 단위충격함수(Unit Impulse Function) 및 단위계단함수(Unit Step Function)
(단,
)
(단,
)
아래는 어떤 함수
의 도함수 및 적분의 라플라스 변환에 대한 공식입니다.
![{\displaystyle L(f'(t))=sF(s)-f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd180d561692a271dd9164b6c5d2cf88aed41d71)
![{\displaystyle L(f''(t))=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f7eb90ff8a7c04887c59978b748a0835e41c47)
. . . ![{\displaystyle -f^{n-1}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a580bbddcb9cc3cab1e3902336381fd647ff783)
![{\displaystyle L(\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau )={\frac {F(s)}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2800fb5e6eb3dd0b46760ae90d2966d82a7522a9)
초월함수의 이동 성질(Shifting Property)
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초월함수
은 라플라스 변환
을 이동시키는 성질이 있습니다.
![{\displaystyle L(e^{at}f(t))=F(s-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87cba0c959b7bde8c8c6503fe25dd1a8ab9d794f)
다항함수의 미분 성질(Differentiating Property)
[편집]
다항함수
은 라플라스 변환
을
에 대해 미분하는 성질이 있습니다.
![{\displaystyle L(tf(t))=-{\frac {d}{ds}}\;\;F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa99cced1ec8c8f91832b78f323575b04c6c688e)
![{\displaystyle L(t^{n}f(t))=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\;\;F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e0cde7cd1c47fe8e93f4db87edccac3cfe8a1a)
어떤 두 함수
,
의 콘볼루션(Convolution)은
![{\displaystyle f(t)*g(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/870d638975e15238495433a177d93c99eaab4002)
으로 정의됩니다. 이때 이 함수의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.
![{\displaystyle L(f(t)*g(t))=F(s)G(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1cdb27ff099cf6180c41851e968e3a1e188a40c)
![{\displaystyle L(f(t)u(t-t_{0}))=e^{-t_{0}s}L(f(t+t_{0})),t_{0}>=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48a849f64c098c4ac9581a2fa900fd8611f2b7e)
![{\displaystyle L(f(t)\delta (t-t_{0}))=f(t_{0})e^{-t_{0}s},t_{0}>=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241f8ed63d36fe6d411e274f9df4e8735a152f45)
아래는 어떤 함수
의 초깃값과 최종값을 구하는 데 사용될 수 있는 정리입니다. 단, 두 식 모두 좌변값이 존재한다는 것을 전제로 합니다.
- 초깃값 정리 :
![{\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }sF(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd91f6abcd2ec6246317f5605b8abf23cdb8217)
- 최종값 정리 :
![{\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0^{+}}sF(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb7bee791e410ef884aa2f21f787151e1ca80d0)
어떤 라플라스 변환
을 원래의 함수
로 변환하는 것을 뜻하며, 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.
![{\displaystyle f(t)=L^{-1}(F(s))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbe586a8d43d37a60b79f61c7fda13b8f9ff12d)
라플라스 변환을 이용하면, 초깃값(
에서의 값)이 주어진 미분방정식을 간단히 풀 수 있습니다.
초깃값 문제
의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.
[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취하면
![{\displaystyle [sX(s)-x(0)]+2X(s)={\frac {1}{s-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4a27d9620f9feb23c84ec16523dd93e9c9d357)
![{\displaystyle [sX(s)-1]+2X(s)={\frac {1}{s-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a55f7746ab6e7e0032682b51924ab513d19ff0)
식을
에 관해 정리하면
![{\displaystyle X(s)={\frac {s-2}{(s+2)(s-3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2bfa9706e6ed3adb527ba95c55f2929a4010b8)
이때 위 식의 우변을 아래와 같이 부분분수화할 수 있습니다.
(
: 상수)
양변에
을 곱하면
![{\displaystyle s-2=A(s-3)+B(s+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d96454c9c96150dfdbf4e73f005e7ed2bf9c34)
![{\displaystyle s-2=(A+B)s+(-3A+2B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7636b8197de66661d984e28ed35f46083a77d493)
![{\displaystyle \longrightarrow A+B=1,-3A+2B=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0aca0098334d37bd2f592210f8a957e39cbe5b2)
![{\displaystyle \therefore A={\frac {4}{5}},B={\frac {1}{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4802cab1f426846fced65a3a4051da69ae5e455)
따라서
의 식은 아래와 같습니다.
![{\displaystyle X(s)={\frac {4}{5}}\;{\frac {1}{s+2}}+{\frac {1}{5}}\;{\frac {1}{s-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30d35e56ccb1a687b4d9172cf3ff74bc04a5669)
이를 역변환하면 미분방정식의 해
을 얻을 수 있습니다.
![{\displaystyle x(t)={\frac {4}{5}}\;e^{-2t}+{\frac {1}{5}}\;e^{3t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd71c42e8465b2cd9d78818aa41114041c62b716)
초깃값 문제
의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.
양변에 라플라스 변환을 취하면
![{\displaystyle [s^{2}X(s)-sx(0)-x'(0)]+X(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5863a74b22294294be13be5928c4dd96c87aabb3)
식을 정리하면,
![{\displaystyle X(s)={\frac {s}{s^{2}+1}}+{\frac {1}{(s^{2}+1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066e2049d8a454a77b3673cf6d9522705f13216f)
을 얻습니다. 이때
이고
![{\displaystyle {\frac {1}{(s^{2}+1)^{2}}}={\frac {1}{s^{2}+1}}\cdot {\frac {1}{s^{2}+1}}=L(\sin t)\cdot L(\sin t)=L(\sin t*\sin t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ee62304270b7028abfe5c0264d29685bd7bacc)
![{\displaystyle \sin t*\sin t=\int _{0}^{t}\sin \tau \sin(t-\tau )d\tau =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}(\cos t-\cos(2\tau -t))d\tau =-{\frac {1}{2}}(t\cos t-{\frac {1}{2}}(\sin t-\sin(-t)))=-{\frac {1}{2}}(t\cos t-\sin t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9c027e626c2d3af7d74e279702c02ad17bc19d)
이므로
![{\displaystyle x(t)=\cos t-{\frac {1}{2}}t\cos t+{\frac {1}{2}}\sin t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d5a98776d6506f7a2d3d55620cdd7b0fec6e3c)
를 얻습니다.
다음의 초깃값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.
![{\displaystyle x_{1}'-x_{1}+x_{2}=e^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb201f10da4c6f3124748939667982a4d92bf9b)
![{\displaystyle x_{2}'+x_{2}-x_{1}=e^{-t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6a2ef6e6cad60e11eadc913acdd10fb834d97e)
![{\displaystyle x_{1}(0)=0,x_{2}(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e797e4fe0bb74ecb1e4633113f68e883fa8b43)
라플라스 변환을 이용하면 여러 개의 선형 미분 방정식으로 이루어진 시스템을 단 하나의 미분방정식으로 통합할 수 있습니다.
예제 1 : 스프링-질량 시스템(Spring-Mass System)
[편집]
질량이 각각
인 두 물체 및 용수철 상수가 각각
인 두 용수철로 구성된 시스템에서 질량
의 물체에 힘
을 가했다. 두 물체의 위치를 각각
라 할 때, 두 물체의 운동방정식은 각각 다음과 같았다.
![{\displaystyle m_{1}x_{1}''+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cec20f3dbd40b8463ce37e5bc79526e1f9cc9d)
![{\displaystyle m_{2}x_{2}''+k_{2}x_{2}-k_{2}x_{1}=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3a166736572e4ad6dc157e845b743a0fae4278)
가 주어진 함수일 때, 위 두 방정식을 각각 (a) 오직
에 관한 미분방정식으로, (b) 오직
에 관한 미분방정식으로 통합하여라.
[풀이]
에 관한, 또는
에 관한 미분방정식은, 모든 초기 조건을
으로 둔 뒤 주어진 두 방정식에 각각 라플라스 변환을 취하고 연립하여
및
을 각각
에 관한 식으로 나타냄으로써 구할 수 있습니다. 우선, 초기 조건을 모두
으로 두고 두 방정식에 라플라스 변환을 취하면
![{\displaystyle m_{1}s^{2}X_{1}(s)+(k_{1}+k_{2})X_{1}(s)-k_{2}X_{2}(s)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52880cce4d463b787ee5587c90014ac47c3ba8c)
![{\displaystyle m_{2}s^{2}X_{2}(s)+k_{2}X_{2}(s)-k_{2}X_{1}(s)=F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0829060d3b1722ab4a8206bfdde5a31b13d37ed4)
여기서 첫째 방정식을
에 대해 표현하면
![{\displaystyle X_{2}(s)={\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;X_{1}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aacf0c8ccac7d5877b2d059e6c20a474cb6c404)
이를 둘째 식에 대입하면
![{\displaystyle m_{2}s^{2}{\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;X_{1}(s)+k_{2}{\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;X_{1}(s)-k_{2}X_{1}(s)=F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f2e42c2785e88015d74628d27b7e179aadfdca)
에 관해 정리하면
![{\displaystyle X_{1}(s)={\frac {k_{2}F(s)}{m_{1}m_{2}s^{4}+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\;s^{2}+k_{1}k_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef01a19c805e6de3c2599a864cfb7ad4f90ae0d)
![{\displaystyle \therefore m_{1}m_{2}s^{4}X_{1}(s)+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})s^{2}X_{1}(s)+k_{1}k_{2}X_{1}(s)=k_{2}F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1bee5e975aa6a4200ea10b283152c1207ce3b6)
이때, 모든 초기 조건을
으로 두었으므로, 양변을 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.
------------------------------------------------------ (a)의 정답
한편, 위에서 구한
의 식을 이용하여
의 식을 구하면
![{\displaystyle X_{2}(s)={\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;X_{1}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aacf0c8ccac7d5877b2d059e6c20a474cb6c404)
![{\displaystyle ={\frac {m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})}{k_{2}}}\;\;{\frac {k_{2}F(s)}{m_{1}m_{2}s^{4}+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\;s^{2}+k_{1}k_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828f05a45ddfecd9960d8a76539d50928bc6bb45)
![{\displaystyle ={\frac {[\;m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})\;]\;F(s)}{m_{1}m_{2}s^{4}+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\;s^{2}+k_{1}k_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86907308f9275ecee885962de74fe5cbb0bbf87d)
![{\displaystyle \therefore m_{1}m_{2}s^{4}X_{2}(s)+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})s^{2}X_{2}(s)+k_{1}k_{2}X_{2}(s)=m_{1}s^{2}F(s)+(k_{1}+k_{2})F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037772b337353b8e3513205849add6f1c495d220)
여기서도 마찬가지로 위 결과를 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.
------------------------------------------------------------ (b)의 정답