라플라스 변환

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로 주어지는 함수 라플라스 변환(Lapalce Transform)이라고 합니다.

기본적인 라플라스 변환[편집]

아래는 라플라스 변환과 관련된 문제에서 자주 등장하는 함수의 형태입니다. 이것을 숙지해두면 라플라스 변환의 응용에서 상당한 도움을 얻을 수 있습니다.
어떤 함수 의 라플라스 변환을 라고 하면,

  • 초월함수(Exponential Function)
  • 삼각함수(Trigonometric Function)
  • 다항식(Polynomial)
  • 쌍곡선함수(Hyperbolic Function)
  • 단위충격함수(Unit Impulse Function) 및 단위계단함수(Unit Step Function)
(단, )
(단, )

라플라스 변환의 중요한 성질[편집]

도함수 및 적분에 대한 라플라스 변환[편집]

아래는 어떤 함수 의 도함수 및 적분의 라플라스 변환에 대한 공식입니다.

  • 도함수의 라플라스 변환
. . .
  • 적분의 라플라스 변환


초월함수의 이동 성질(Shifting Property)[편집]

초월함수 은 라플라스 변환 을 이동시키는 성질이 있습니다.


다항함수의 미분 성질(Differentiating Property)[편집]

다항함수 은 라플라스 변환 에 대해 미분하는 성질이 있습니다.


콘볼루션에 대한 라플라스 변환[편집]

어떤 두 함수 , 콘볼루션(Convolution)

으로 정의됩니다. 이때 이 함수의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.




라플라스 변환의 추가적인 정리[편집]

충격함수 및 계단함수와 관련된 정리[편집]


초깃값 및 최종값에 관한 정리[편집]

아래는 어떤 함수 초깃값최종값을 구하는 데 사용될 수 있는 정리입니다. 단, 두 식 모두 좌변값이 존재한다는 것을 전제로 합니다.

  • 초깃값 정리 :
  • 최종값 정리 :



라플라스 역변환[편집]

어떤 라플라스 변환 을 원래의 함수로 변환하는 것을 뜻하며, 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.




라플라스 변환의 응용[편집]

미분방정식의 풀이[편집]

라플라스 변환을 이용하면, 초깃값(에서의 값)이 주어진 미분방정식을 간단히 풀 수 있습니다.

예제 1 : 1계 미분방정식(1)[편집]

초깃값 문제 의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.


[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취하면

식을 에 관해 정리하면

이때 위 식의 우변을 아래와 같이 부분분수화할 수 있습니다.

( : 상수)

양변에 을 곱하면

따라서 의 식은 아래와 같습니다.

이를 역변환하면 미분방정식의 해 을 얻을 수 있습니다.



예제 2 : 1계 미분방정식(2)[편집]

초깃값 문제 의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.


양변에 라플라스 변환을 취하면

식을 정리하면,

을 얻습니다. 이때 이고

이므로

를 얻습니다.


예제 3 : 2계 미분방정식[편집]

다음의 초깃값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.



선형 시스템의 모델링[편집]

라플라스 변환을 이용하면 여러 개의 선형 미분 방정식으로 이루어진 시스템을 단 하나의 미분방정식으로 통합할 수 있습니다.

예제 1 : 스프링-질량 시스템(Spring-Mass System)[편집]

질량이 각각 인 두 물체 및 용수철 상수가 각각 인 두 용수철로 구성된 시스템에서 질량 의 물체에 힘 을 가했다. 두 물체의 위치를 각각 라 할 때, 두 물체의 운동방정식은 각각 다음과 같았다.

가 주어진 함수일 때, 위 두 방정식을 각각 (a) 오직 에 관한 미분방정식으로, (b) 오직 에 관한 미분방정식으로 통합하여라.



[풀이] 에 관한, 또는 에 관한 미분방정식은, 모든 초기 조건을 으로 둔 뒤 주어진 두 방정식에 각각 라플라스 변환을 취하고 연립하여 을 각각 에 관한 식으로 나타냄으로써 구할 수 있습니다. 우선, 초기 조건을 모두 으로 두고 두 방정식에 라플라스 변환을 취하면


여기서 첫째 방정식을 에 대해 표현하면


이를 둘째 식에 대입하면


에 관해 정리하면



이때, 모든 초기 조건을 으로 두었으므로, 양변을 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.

------------------------------------------------------ (a)의 정답


한편, 위에서 구한 의 식을 이용하여 의 식을 구하면





여기서도 마찬가지로 위 결과를 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.

------------------------------------------------------------ (b)의 정답