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위키백과
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로 주어지는 함수
를
의 라플라스 변환(Lapalce Transform)이라고 합니다.
기본적인 라플라스 변환[편집]
아래는 라플라스 변환과 관련된 문제에서 자주 등장하는 함수의 형태입니다. 이것을 숙지해두면 라플라스 변환의 응용에서 상당한 도움을 얻을 수 있습니다.
어떤 함수
의 라플라스 변환을
라고 하면,
- 초월함수(Exponential Function)

- 삼각함수(Trigonometric Function)



- 쌍곡선함수(Hyperbolic Function)


- 단위충격함수(Unit Impulse Function) 및 단위계단함수(Unit Step Function)
(단,
)
(단,
)
라플라스 변환의 중요한 성질[편집]
도함수 및 적분에 대한 라플라스 변환[편집]
아래는 어떤 함수
의 도함수 및 적분의 라플라스 변환에 대한 공식입니다.


. . . 

초월함수의 이동 성질(Shifting Property)[편집]
초월함수
은 라플라스 변환
을 이동시키는 성질이 있습니다.

다항함수의 미분 성질(Differentiating Property)[편집]
다항함수
은 라플라스 변환
을
에 대해 미분하는 성질이 있습니다.


콘볼루션에 대한 라플라스 변환[편집]
어떤 두 함수
,
의 콘볼루션(Convolution)은

으로 정의됩니다. 이때 이 함수의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.

라플라스 변환의 추가적인 정리[편집]
충격함수 및 계단함수와 관련된 정리[편집]


초깃값 및 최종값에 관한 정리[편집]
아래는 어떤 함수
의 초깃값과 최종값을 구하는 데 사용될 수 있는 정리입니다. 단, 두 식 모두 좌변값이 존재한다는 것을 전제로 합니다.
- 초깃값 정리 :

- 최종값 정리 :

라플라스 역변환[편집]
어떤 라플라스 변환
을 원래의 함수
로 변환하는 것을 뜻하며, 기호로는 아래와 같이 나타냅니다.

라플라스 변환의 응용[편집]
미분방정식의 풀이[편집]
라플라스 변환을 이용하면, 초깃값(
에서의 값)이 주어진 미분방정식을 간단히 풀 수 있습니다.
예제 1 : 1계 미분방정식(1)[편집]
초깃값 문제
의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.
[풀이] 양변에 라플라스 변환을 취하면
![{\displaystyle [sX(s)-x(0)]+2X(s)={\frac {1}{s-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4a27d9620f9feb23c84ec16523dd93e9c9d357)
![{\displaystyle [sX(s)-1]+2X(s)={\frac {1}{s-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a55f7746ab6e7e0032682b51924ab513d19ff0)
식을
에 관해 정리하면

이때 위 식의 우변을 아래와 같이 부분분수화할 수 있습니다.
(
: 상수)
양변에
을 곱하면




따라서
의 식은 아래와 같습니다.

이를 역변환하면 미분방정식의 해
을 얻을 수 있습니다.

예제 2 : 1계 미분방정식(2)[편집]
초깃값 문제
의 해를 라플라스 변환을 이용하여 구하여라.
양변에 라플라스 변환을 취하면
![{\displaystyle [s^{2}X(s)-sx(0)-x'(0)]+X(s)={\frac {1}{s^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5863a74b22294294be13be5928c4dd96c87aabb3)
식을 정리하면,

을 얻습니다. 이때
이고


이므로

를 얻습니다.
예제 3 : 2계 미분방정식[편집]
다음의 초깃값 문제를 라플라스 변환을 이용하여 풀어라.



선형 시스템의 모델링[편집]
라플라스 변환을 이용하면 여러 개의 선형 미분 방정식으로 이루어진 시스템을 단 하나의 미분방정식으로 통합할 수 있습니다.
예제 1 : 스프링-질량 시스템(Spring-Mass System)[편집]
질량이 각각
인 두 물체 및 용수철 상수가 각각
인 두 용수철로 구성된 시스템에서 질량
의 물체에 힘
을 가했다. 두 물체의 위치를 각각
라 할 때, 두 물체의 운동방정식은 각각 다음과 같았다.


가 주어진 함수일 때, 위 두 방정식을 각각 (a) 오직
에 관한 미분방정식으로, (b) 오직
에 관한 미분방정식으로 통합하여라.
[풀이]
에 관한, 또는
에 관한 미분방정식은, 모든 초기 조건을
으로 둔 뒤 주어진 두 방정식에 각각 라플라스 변환을 취하고 연립하여
및
을 각각
에 관한 식으로 나타냄으로써 구할 수 있습니다. 우선, 초기 조건을 모두
으로 두고 두 방정식에 라플라스 변환을 취하면


여기서 첫째 방정식을
에 대해 표현하면

이를 둘째 식에 대입하면

에 관해 정리하면


이때, 모든 초기 조건을
으로 두었으므로, 양변을 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.
------------------------------------------------------ (a)의 정답
한편, 위에서 구한
의 식을 이용하여
의 식을 구하면


![{\displaystyle ={\frac {[\;m_{1}s^{2}+(k_{1}+k_{2})\;]\;F(s)}{m_{1}m_{2}s^{4}+(m_{1}k_{2}+m_{2}k_{1}+m_{2}k_{2})\;s^{2}+k_{1}k_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86907308f9275ecee885962de74fe5cbb0bbf87d)

여기서도 마찬가지로 위 결과를 라플라스 역변환하면 아래의 미분방정식을 얻게 됩니다.
------------------------------------------------------------ (b)의 정답