기하학 원론/1권
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< 기하학 원론
《기하학 원론》 1권에는 모두 49개의 정리가 있습니다.
정의
[편집]1권뿐만 아니라, 앞으로 우리가 배울 모든 내용은 다음 23가지 정의로부터 시작됩니다.
- 점은 크기를 가지지 않는 것이다.
- 선은 폭이 없이 길이만 있는 것이다.
- 선의 양 끝은 점이다.
- 직선은 점들이 쭉 곧게 있는 것이다.
- 면은 길이와 폭만 있는 것이다.
- 면의 끝은 선이다.
- 평면은 직선들이 쭉 곧게 있는 것이다.
- 평면에 있는 두 선이 서로 만나고 한 직선에 놓여 있지 않을 때, 두 선이 서로에게 기운 정도를 각이라고 한다.
- 두 선이 모두 직선일 때 특히 직선각이라고 한다.
- 직선에 다른 한 직선을 세웠을 때, 이웃한 두 각의 크기가 서로 같으면 그 각을 직각이라고 한다. 이 때, 두 직선은 수직이라고 한다.
- 둔각은 직각보다 큰 각이다.
- 예각은 직각보다 작은 각이다.
- 둘레는 어떤 것의 끝이다.
- 도형은 둘레들로 둘러싸인 것이다.
- 어떤 선으로 둘러싼 도형이 있을 때, 한 점에서 직선들을 그었을 때 도형에 놓이는 부분이 모두 서로 같다면 그 도형은 원이다.
- 그 한 점을 원의 중심이라고 한다.
- 원의 지름은 중심을 지나고 양쪽 다 원둘레에서 끝나는 직선이다. 지름은 원을 이등분한다.
- 지름과 지름이 자른 원둘레가 둘러싼 도형을 반원이라고 한다. 반원의 중심은 원의 중심과 같다.
- 직선다각형은 직선들로 둘러싼 도형이다. 삼각형은 직선 3개로 둘러싼 도형이다. 사각형은 직선 4개로 둘러싼 도형이다.
- 정삼각형은 세 변이 모두 같은 삼각형이다. 이등변삼각형은 두 변이 같은 삼각형이다. 부등변삼각형은 세 변이 모두 다른 삼각형이다.
- 직각삼각형은 직각을 가진 삼각형이다. 둔각삼각형은 둔각을 가진 삼각형이다. 예각삼각형은 세 각이 모두 예각인 삼각형이다.
- 직사각형은 네 각이 모두 직각인 사각형이다. 마름모는 네 변이 모두 같은 사각형이다. 정사각형은 직사각형이면서 마름모인 도형이다. 평행사변형은 마주보는 두 변 두 쌍이 서로 평행한 사각형이다. 이들 외의 사각형은 부등변 사각형이다.
- 평행선이란 같은 평면에 있는 직선들로서 양쪽으로 얼마나 늘려도 만나지 않는 직선들이다.
공준
[편집]위에서 말했던 정의들에서 앞으로 살펴볼 정리들을 유도하기 위해서는 다음 5가지를 사실로 인정해야 합니다.
- 모든 점에서 다른 모든 점으로 직선을 그을 수 있다.
- 유한한 직선을 계속 늘여나갈 수 있다.
- 모든 점에서 임의의 반지름으로 원을 그릴 수 있다.
- 모든 직각은 같다.
- 한 직선이 다른 두 직선과 만나면서 같은 쪽에 만드는 두 내각의 합이 2직각보다 작을 때, 그 두 직선을 무한히 연장하면 2직각보다 작은 그쪽에서 만난다.
다섯 번째 공준은 대개 "한 직선과 평행이고 그 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 직선은 하나뿐이다"라는 꼴으로 소개되기도 합니다. 이것을 플레이페어 공준(Playfair's axiom)이라고 하며, 유클리드의 다섯 번째 공준과 플레이페어 공준은 동치입니다.
상식
[편집]따로 다음 5가지를 논란의 여지가 없도록 당연한 것으로 인정합니다.
- 어떤 것들이 어떤 것과 같다면 어떤 것들은 서로 같다.
- 같은 것에 같은 것을 더하면 같다.
- 같은 것에서 같은 것을 빼면 같다.
- 일치하는 것은 서로 같다.
- 전체는 부분보다 크다.