구조역학/에너지법을 이용한 방법

• 에너지 보존 법칙 : 외부 하중에 의한 일과 부재 내부 힘에 의한 일은 동일하다.

외적 일

어떤 기둥을 축방향으로 F₁만큼 당겨서 Δ₁의 변형이 생겼다. 여기에 F₂만큼 추가하중을 줘서 총 변형이 Δ₁ + Δ₂가 됐다면 외적 일은

$W_{e}={\frac {1}{2}}F_{1}\Delta _{1}+{\frac {1}{2}}F_{2}\Delta _{2}+F_{1}\Delta _{2}$

내적 일

dA 부분에 작용하는 힘$=\left({\frac {M}{I}}y\right)dA$

dx 부분 변형량$=\epsilon dx={\frac {\sigma }{E}}dx={\frac {My}{EI}}dx$

${\begin{aligned}{\text{내 적 일 }}&={\frac {1}{2}}\int _{Vol}\left({\frac {M}{I}}ydA\right)\left({\frac {My}{EI}}dx\right)\\&={\frac {1}{2}}\int _{L}{\frac {M^{2}}{EI}}dx\\\end{aligned}}$

가상일의 원리를 이용한 단위하중법

• 
  가상계
• 
  실제계

$\Delta =\int {\bar {S}}dv\quad ({\bar {P}}=1)$

예시

$\Delta =\int {\bar {m}}{\frac {M}{EI}}dx=\int _{0}^{L}(-x)\left(-{\frac {Px}{EI}}\right)dx={\frac {PL^{3}}{3EI}}$

Product Integral

$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx=A\cdot y$

$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {Lab}{3}}$

$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {Lab}{6}}$

$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {L}{6}}[a(2c+d)+b(2d+c)]$

$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {Lab}{2}}$

$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {L}{6}}a(2c+d)$

온도처짐

$\Delta ={\frac {L^{2}}{2}}{\frac {\alpha (T_{1}-T_{2})}{h}}$

프레임 처짐 계산 예제1

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반력 계산

전단력도

모멘트도

이제 처짐을 구하길 원하는 점에 원하는 방향의 단위하중만을 재하한 가상계를 생각한다. 반력까지 구하면

전단력도

모멘트도

이제 실제계의 모멘트도와 가상계의 모멘트도를 이용하여 처짐을 계산한다.

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{EI}}\left({\frac {H}{3}}H\cdot PH+{\frac {L}{3}}H\cdot PH\right)\\&={\frac {1}{EI}}{\frac {H^{2}P}{3}}(H+L)\\\end{aligned}}$

트러스에 가상일의 원리 적용

• 
  실제계
• 
  가상계

$\Delta =\int {\bar {S}}dv=\sum {\bar {p}}{\frac {FL}{EA}}$

카스틸리아노의 2 정리

$\Delta ={\frac {\partial U}{\partial P}}$

길이 L인 단순보에서 예를 들면

$U={\frac {1}{2}}\int {\frac {M^{2}}{EI}}dx$

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {\partial U}{\partial P}}\\&={\frac {\partial U}{\partial M}}{\frac {\partial M}{\partial P}}\\&=\int {\frac {M}{EI}}{\frac {\partial M}{\partial P}}dx\end{aligned}}$

트러스에서 예를 들면

$U={\frac {1}{2}}\sum {\frac {F^{2}L}{EA}}$

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {\partial U}{\partial P}}\\&={\frac {\partial U}{\partial F}}{\frac {\partial F}{\partial P}}\\&=\sum {\frac {FL}{EA}}\left({\frac {\partial F}{\partial P}}\right)\end{aligned}}$