감마 함수는 다음과 같이 정의되는 함수이다.
Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }{t^{\alpha -1}e^{-t}}dt} ( t > 0 ) {\displaystyle (t>0)}
α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} 일 때, 일반적으로 다음과 같은 성질을 지닌다.
(1) Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) {\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )}
(2) Γ ( 1 − α ) Γ ( α ) = π sin ( π α ) {\displaystyle \Gamma (1-\alpha )\Gamma (\alpha )={\pi \over \sin(\pi \alpha )}}
감마 함수 f ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t {\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}dt} ( t > 0 ) {\displaystyle (t>0)} 에서
x = x ′ + 1 {\displaystyle x=x'+1} 을 대입하면,
f ( x ′ + 1 ) = ∫ 0 ∞ t x ′ e − t d t {\displaystyle f(x'+1)=\int _{0}^{\infty }{t^{x'}e^{-t}}dt} 이다.
이때, 우변 ∫ 0 ∞ t x ′ e − t d t {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{t^{x'}e^{-t}}dt} 를 정리해보자.
∫ 0 ∞ t x ′ e − t d t = [ − t x ′ e − t ] 0 ∞ − ∫ 0 ∞ − x ′ t x ′ − 1 e − t d t {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{t^{x'}e^{-t}}dt=\left[-t^{x'}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{-x't^{x'-1}e^{-t}}dt}
= [ − t x ′ e − t ] 0 ∞ + x ′ ∫ 0 ∞ t x ′ − 1 e − t d t {\displaystyle =\left[-t^{x'}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }+x'\int _{0}^{\infty }{t^{x'-1}e^{-t}}dt}
= x ′ ∫ 0 ∞ t x ′ − 1 e − t d t {\displaystyle =x'\int _{0}^{\infty }{t^{x'-1}e^{-t}}dt}
따라서, 감마 함수 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 에 대하여
f ( x + 1 ) = x f ( x ) {\displaystyle f(x+1)=xf(x)} 이 성립하므로
f ( x ) = ( x − 1 ) ! {\displaystyle f(x)=(x-1)!} 이다.
위에 증명과정에 의해서 감마함수는 아래와 같이 정의가 된다.
( x − 1 ) ! = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t {\displaystyle (x-1)!=\int _{0}^{\infty }{t^{x-1}e^{-t}}dt}
일 때, 일반적으로 다음과 같은 성질을 지닌다.
에서
을 대입하면,
이다.
를 정리해보자.
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{t^{x'}e^{-t}}dt=\left[-t^{x'}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{-x't^{x'-1}e^{-t}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f899f602c7392090a787f221a60ae33f602d107)
![{\displaystyle =\left[-t^{x'}e^{-t}\right]_{0}^{\infty }+x'\int _{0}^{\infty }{t^{x'-1}e^{-t}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c928ed7c740962f2267c6afccceda7ed2c593d40)
에 대하여
이 성립하므로
이다.
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