포털:고등학교/수학/수학 Ⅰ(2007 개정)/행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈의 뜻과 그 연산

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학습 목표: 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈의 뜻을 알고, 그 연산을 할 수 있다.

행렬의 덧셈, 뺄셈의 뜻과 그 연산

같은 꼴인 두 행렬 $A,B$ 에 대하여 $A$ 와 $B$ 의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행렬을 $A$ 와 $B$ 의 합이라고 하며, 이것을 기호로

A+B

와 같이 나타냅니다.^[1] 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.^[2]

행렬의 덧셈

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ 일 때,

A+B={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}}

실수의 덧셈에서 교환법칙과 결합법칙이 성립하는 것과 마찬가지로, 행렬의 덧셈에서도 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑴

같은 꼴인 세 행렬 $A,B,C$ 에 대하여

① $A+B=B+A$	(교환법칙)
② $(A+B)+C=A+(B+C)$	(결합법칙)^[3]

모든 성분이 $0$ 인 행렬을 영행렬이라고 합니다.^[4] 예를 들어

{\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

은 모두 영행렬입니다. 영행렬은 각 꼴에 대하여 하나씩 있으나, 혼동의 염려가 없을 때에는 보통 기호 $O$ 로 나타냅니다. 행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 가 같은 꼴일 때,

A+O=O+A=A

가 성립함을 알 수 있습니다. 즉 영행렬은 같은 꼴의 행렬의 집합에서 덧셈에 대한 항등원입니다. 또 행렬 $A$ 의 모든 성분의 부호를 바꾼 행렬을 $-A$ 와 같이 나타냅니다. 예를 들어

A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}

일 때,

-A={\begin{pmatrix}-a_{11}&-a_{12}\\-a_{21}&-a_{22}\end{pmatrix}}

입니다. 이때 행렬의 덧셈의 정의에 의하여 행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 가 같은 꼴일 때,

A+(-A)=(-A)+A=O

가 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 행렬 $-A$ 는 같은 꼴의 행렬의 집합에서 행렬 $A$ 의 덧셈에 대한 역원입니다.

이상을 정리하면 다음과 같습니다.

행렬의 덧셈에 대한 성질 ⑵

같은 꼴인 행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 에 대하여

③ $A+O=O+A=A$	( $O$ 는 덧셈에 대한 항등원)
④ $A+(-A)=(-A)+A=O$	( $-A$ 는 $A$ 의 덧셈에 대한 역원)

같은 꼴의 두 행렬 $A,B$ 에 대하여 $A$ 에 $B$ 의 덧셈에 대한 역원 $-B$ 를 더한 $A+(-B)$ 를 기호로

A-B

와 같이 나타내고, 이것을 행렬 $A$ 에서 행렬 $B$ 를 뺀 차라고 합니다.^[5]^[6] 이때 $A-B$ 는 행렬 $A$ 의 각 성분에서 그에 대응하는 행렬 $B$ 의 성분을 뺀 차를 성분으로 하는 행렬임을 알 수 있습니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 뺄셈은 다음과 같습니다.^[7]

행렬의 뺄셈

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ 일 때,

A-B={\begin{pmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\end{pmatrix}}

한편 같은 꼴의 세 행렬 $A,B,X$ 에 대하여

X+A=B

가 성립할 때, 이 등식의 양변에 행렬 $A$ 의 덧셈의 역원 $-A$ 를 더하여 간단히 하면 다음 결과를 얻습니다.^[8]

{\begin{aligned}X+A=B&\Leftrightarrow X+A+(-A)=B+(-A)\\&\Leftrightarrow X+O=B-A\\&\Leftrightarrow X=B-A\end{aligned}}

따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식은 다항식의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 등식과 같이 이항을 이용하여 계산할 수 있습니다.

행렬의 실수배의 뜻과 그 연산

임의의 실수 $k$ 에 대하여 행렬 $A$ 의 각 성분을 $k$ 배한 것을 성분으로 하는 행렬을 행렬 $A$ 의 $k$ 배라고 하며, 이것을 기호로 $kA$ 와 같이 나타냅니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 실수배는 다음과 같습니다.^[9]

행렬의 실수배

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$ 와 실수 $k$ 에 대하여 $kA={\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}\\ka_{21}&ka_{22}\end{pmatrix}}$

행렬 $A$ 와 영행렬 $O$ 가 같은 꼴이고 $k$ 가 실수일 때, 행렬의 실수배의 정의에 의하여 다음이 성립함을 알 수 있습니다.^[10]

1A=A,\ (-1)A=A,\ 0A=O,\ kO=O

행렬의 실수배에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 실수배에 대한 성질

같은 꼴의 두 행렬 $A,B$ 와 두 실수 $k,l$ 에 대하여

①

(kl)A=k(lA)

②

(k+l)A=kA+lA,\ k(A+B)=kA+kB

행렬의 곱셈의 뜻과 그 연산

두 행렬 $A,B$ 에 대하여 행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때, 행렬 $A$ 의 제 $i$ 행의 성분과 행렬 $B$ 의 제 $j$ 열의 성분을 각각 차례로 곱하여 더한 값을 $(i,j)$ 성분으로 하는 행렬을 두 행렬 $A,B$ 의 곱이라고 하며, 이것을 기호로

AB

와 같이 나타냅니다.^[11] 이때 행렬 $A$ 가 $m\times l$ 행렬이고 행렬 $B$ 가 $l\times n$ 행렬이면 행렬 $AB$ 는 $m\times n$ 행렬입니다. 예를 들어 $2\times 2$ 행렬의 덧셈은 다음과 같습니다.^[12]

행렬의 곱셈

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}$ 일 때,

AB={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}}

한편 수의 거듭제곱과 마찬가지로 정사각행렬 $A$ 에 대하여

A^{2}=AA,\ A^{3}=A^{2}A,\ A^{4}=A^{3}A,\ \cdots ,\ A^{n+1}=A^{n}A

와 같이 행렬의 거듭제곱을 정의합니다.^[13]^[14]^[15]

두 실수 $a,b$ 에 대하여 교환법칙 $ab=ba$ 가 성립함을 알고 있습니다. 그러나 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}2&3\\-4&1\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}0&-1\\2&1\end{pmatrix}}$ 에 대하여

AB={\begin{pmatrix}6&1\\2&5\end{pmatrix}},\ BA={\begin{pmatrix}4&-1\\0&7\end{pmatrix}}

이므로 : $AB\neq BA$ 입니다. 즉 행렬의 곱셈에서는 실수의 곱셈에서와는 달리 교환법칙이 성립하지 않습니다.

행렬의 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질이 성립합니다.

행렬의 곱셈에 대한 성질

합과 곱이 정의되는 세 행렬 $A,B,C$ 와 실수 $k$ 에 대하여

① $(AB)C=A(BC)$	(결합법칙)^[16]
② $A(B+C)=AB+AC$	(분배법칙)
③ $k(AB)=(kA)B=A(kB)$

두 행렬 $A,B$ 에 대하여

(A+B)^{2}=A^{2}+AB+BA+B^{2}

입니다.^[17] 그런데 행렬의 곱셈에서는 교환법칙이 성립하지 않으므로 어떤 두 행렬 $A,B$ 에 대하여

(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}

입니다.

정사각행렬 $A$ 와 같은 꼴의 영행렬 $O$ 에 대하여

AO=OA=A

가 성립합니다.^[18] 그러나 같은 꼴의 정사각행렬 $A,B$ 에 대하여

A\neq O,\ B\neq O

이지만

AB=O

인 경우가 있습니다.^[19] 예를 들어 $A={\begin{pmatrix}2&3\\-4&-6\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}9&-3\\-6&2\end{pmatrix}}$ 일 때, $A\neq O,\ B\neq O$ 이지만 $AB=O$ 입니다.

참고

↑ 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 덧셈은 정의되지 않습니다.
↑ 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A+B={\begin{pmatrix}a_{ij}+b_{ij}\end{pmatrix}}$
↑ 행렬의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(A+B)+C$ 와 $A+(B+C)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$A+B+C$
와 같이 나타내기도 합니다.
↑ 영행렬(零行列)을 영어로 zero matrix라고 합니다.
↑ 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 뺄셈은 정의되지 않습니다.
↑ 두 실수 $a,b$ 에 대하여
$a-b=a+(-b)$
↑ 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A-B={\begin{pmatrix}a_{ij}-b_{ij}\end{pmatrix}}$
↑ $a,b,x$ 가 실수일 때,
$x+a=b\Leftrightarrow x=b-a$
↑ $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}$ 이고 $k$ 가 실수일 때,
$kA={\begin{pmatrix}ka_{ij}\end{pmatrix}}$
↑ 실수 $a$ 에 대하여
$1a=a,\ (-1)a=-a,\ 0\cdot a=0$
↑ 두 행렬 $A,B$ 의 곱 $AB$ 는 행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때에만 정의됩니다.
↑ 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ik}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{kj}\end{pmatrix}},\ AB={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}$ 이고 $k=1,2,\cdots ,l$ 일 때,
$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{il}b_{lj}$
↑ $A^{1}=A$ 입니다.
↑ 행렬의 곱셈의 정의에 의하여 $A$ 가 정사각행렬일 때에만 행렬의 거듭제곱 $A^{n}$ 이 정의됨을 알 수 있습니다.
↑ 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\na&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}a^{n}&0\\0&b^{n}\end{pmatrix}}$
↑ 행렬의 곱셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(AB)C$ 와 $A(BC)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$ABC$
와 같이 나타내기도 합니다.
↑ 두 행렬 $A,B$ 에 대하여
${\begin{aligned}(A+B)^{2}&=(A+B)(A+B)\\&=A(A+B)+B(A+B)\\&=A^{2}+AB+BA+B^{2}\end{aligned}}$
↑ 실수 $a$ 에 대하여
$a\cdot 0=0\cdot a=0$
↑ 두 실수 $a,b$ 에 대하여
$a\neq 0,\ b\neq 0\Leftrightarrow ab\neq 0$

[1] 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 덧셈은 정의되지 않습니다.

[2] 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A+B={\begin{pmatrix}a_{ij}+b_{ij}\end{pmatrix}}$

[3] 행렬의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(A+B)+C$ 와 $A+(B+C)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$A+B+C$
와 같이 나타내기도 합니다.

[4] 영행렬(零行列)을 영어로 zero matrix라고 합니다.

[5] 같은 꼴이 아닌 두 행렬의 뺄셈은 정의되지 않습니다.

[6] 두 실수 $a,b$ 에 대하여
$a-b=a+(-b)$

[7] 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{ij}\end{pmatrix}}$ 가 같을 꼴일 때,
$A-B={\begin{pmatrix}a_{ij}-b_{ij}\end{pmatrix}}$

[8] $a,b,x$ 가 실수일 때,
$x+a=b\Leftrightarrow x=b-a$

[9] $A={\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}}$ 이고 $k$ 가 실수일 때,
$kA={\begin{pmatrix}ka_{ij}\end{pmatrix}}$

[10] 실수 $a$ 에 대하여
$1a=a,\ (-1)a=-a,\ 0\cdot a=0$

[11] 두 행렬 $A,B$ 의 곱 $AB$ 는 행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때에만 정의됩니다.

[12] 두 행렬 $A={\begin{pmatrix}a_{ik}\end{pmatrix}},\ B={\begin{pmatrix}b_{kj}\end{pmatrix}},\ AB={\begin{pmatrix}c_{ij}\end{pmatrix}}$ 이고 $k=1,2,\cdots ,l$ 일 때,
$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{il}b_{lj}$

[13] $A^{1}=A$ 입니다.

[14] 행렬의 곱셈의 정의에 의하여 $A$ 가 정사각행렬일 때에만 행렬의 거듭제곱 $A^{n}$ 이 정의됨을 알 수 있습니다.

[15] 임의의 자연수 $n$ 에 대하여
${\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\na&1\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}a^{n}&0\\0&b^{n}\end{pmatrix}}$

[16] 행렬의 곱셈에서 결합법칙이 성립하므로 $(AB)C$ 와 $A(BC)$ 를 괄호를 사용하지 않고
$ABC$
와 같이 나타내기도 합니다.

[17] 두 행렬 $A,B$ 에 대하여
${\begin{aligned}(A+B)^{2}&=(A+B)(A+B)\\&=A(A+B)+B(A+B)\\&=A^{2}+AB+BA+B^{2}\end{aligned}}$

[18] 실수 $a$ 에 대하여
$a\cdot 0=0\cdot a=0$

[19] 두 실수 $a,b$ 에 대하여
$a\neq 0,\ b\neq 0\Leftrightarrow ab\neq 0$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]