응력-변형률 및 과잉간극수압

목차 : 토질역학

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지반에 초기하중 외에 외부에서의 추가하중이 작용할 때

• 물이 없을 때 : 모든 응력을 흙이 받음
• 물이 존재하나, 사질토 지반일 때 : 응력 증가량을 흙이 받음
• 물이 존재하고, 잘 빠져나가지 않을 때
  • 물은 비압축성→부피변화 없어서 하중 받음. 응력 증가량을 수압으로 버틴다. 과잉간극수압 발생.

일축압축하중

수평방향 응력증가는 없고 연직방향으로만 응력 증가가 있는 경우. 연직방향이 z라 할 때

등방압밀하중

연직방향 응력증가량 Δσ_z = 수평방향 응력증가량 Δσ_h인 경우 등방압밀하중 상태라 한다.

각 방향 변형률은

$\epsilon _{x}={\frac {\Delta \sigma _{x}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}(\Delta \sigma _{y}+\Delta \sigma _{z})$

$\epsilon _{y}={\frac {\Delta \sigma _{y}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}(\Delta \sigma _{x}+\Delta \sigma _{z})$

$\epsilon _{z}={\frac {\Delta \sigma _{z}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}(\Delta \sigma _{x}+\Delta \sigma _{y})$

체적변형률은

${\begin{aligned}\epsilon _{v}&=\epsilon _{x}+\epsilon _{y}+\epsilon _{z}\\&={\frac {1-2\mu }{E}}(\Delta \sigma _{x}+\Delta \sigma _{y}+\Delta \sigma _{z})\\&={\frac {3\Delta \sigma }{E}}(1-2\mu )\end{aligned}}$

삼축압축하중

등방압밀하중에 축차응력만큼의 일축압축하중을 더한 것.

• 축차응력(deviator stress) $\Delta \sigma _{d}=\Delta \sigma _{1}-\Delta \sigma _{3}$

횡방향 구속 하의 축하중

횡방향 변위는 절대 없게 하면서 연직방향 응력을 증가시키는 것. 실제 현장에선 무한 등분포 하중을 생각하면 된다. 깊이에 관계없이 응력 증가량이 일정.

암기

$K_{0}={\frac {\mu }{1-\mu }}$

μ : 포아송비

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• 횡방향 구속하의 변형계수(constrained modulus) $D={\frac {\Delta \sigma _{v}}{\epsilon _{v}}}={\frac {\Delta \sigma _{z}}{\epsilon _{z}}}$
• 체적변형계수(coefficient of volume change) $m_{v}={\frac {1}{D}}={\frac {\epsilon _{v}}{\Delta \sigma _{v}}}$

위 곡선에서 ε_v 대신 e, Δσ_v를 로그축에 그리면 다음처럼 직선이 나온다.

여기서 압축지수(compression index) $C_{c}={\frac {\Delta e}{\Delta (\log \sigma _{v})}}=-{\frac {de}{d(\log \sigma _{v})}}$

압축계수(coefficient of compressibility) $a_{v}={\frac {\Delta e}{\Delta \sigma _{v}}}=-{\frac {de}{d\sigma _{v}}}$

$m_{v}={\frac {a_{v}}{1+e_{0}}}$

$C_{c}={\frac {(1+e_{0})\sigma _{v}}{0.435D}}$

A점의 (p, q)값은

$\left({\frac {\Delta \sigma _{v}(1+K_{0})}{2}},\quad {\frac {\Delta \sigma _{v}(1-K_{0})}{2}}\right)$

과잉간극수압

등방압밀하중의 경우

이때의 과잉간극수압 $u=B\Delta \sigma$

B : Skempton의 과잉간극수압 B계수. 포화도 S에 따른 함수. S=0이면 B=0(완전건조된 흙은 수압이 있을 수 없다). S=1이면 B=1

일축압축하중의 경우

이때의 과잉간극수압 $u=BA\Delta \sigma _{1}$

A : Skempton의 A계수. 체적 감소 시 +, 체적 증가 시 -

D = B A

삼축압축하중의 경우

이때의 과잉간극수압은 등방압밀하중과 일축압축하중의 경우를 합친 것으로 생각한다.

Skempton의 과잉간극수압 공식(암기)

${\begin{aligned}\Delta u&=B\Delta \sigma _{3}+BA(\Delta \sigma _{1}-\Delta \sigma _{3})\\&=B[{\color {Red}\Delta \sigma _{3}}+A(\Delta \sigma _{1}-\Delta \sigma _{3})]\\\end{aligned}}$

예제

q = 60kN/m, x = 5m, z = 5m일 때, 오른쪽 하단의 흙입자에 작용하는 과잉간극수압은? 물은 잘 빠져나가지 않으며, A = 0.65

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$\Delta \sigma _{z}={\frac {2qz^{3}}{\pi (x^{2}+z^{2})^{2}}}$

$\Delta \sigma _{x}={\frac {2qx^{2}z}{\pi (x^{2}+z^{2})^{2}}}$

$\Delta \tau _{xz}={\frac {2qxz^{2}}{\pi (x^{2}+z^{2})^{2}}}$

$\Delta \sigma _{z}=\Delta \sigma _{x}=\Delta \tau _{xz}=1.909kN/m^{2}$

응력증가량을 주응력으로 착각하지 말 것. 주응력을 구해야 한다.

${\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {\Delta \sigma _{z}+\Delta \sigma _{x}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {\Delta \sigma _{z}-\Delta \sigma _{x}}{2}}\right)^{2}+{\Delta \tau _{xz}}^{2}}}\\&=1.910+1.910\\&=3.82kN/m^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\sigma _{3}&={\frac {\Delta \sigma _{z}+\Delta \sigma _{x}}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {\Delta \sigma _{z}-\Delta \sigma _{x}}{2}}\right)^{2}+{\Delta \tau _{xz}}^{2}}}\\&=1.910-1.910\\&=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\therefore \Delta u&=B[\Delta \sigma _{3}+A(\Delta \sigma _{1}-\Delta \sigma _{3})]\\&=0+0.65\times 3.82\\&=2.483kN/m^{2}\end{aligned}}$

09 기사

지하수위가 지표면과 일치하는 연약지반 위에 양질의 흙으로 매립 성토하였다. 매립 끝난 후 매립 지표로부터 5m 깊이의 과잉간극수압은?

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$\Delta u=B[{\color {Red}\Delta \sigma _{3}}+A(\Delta \sigma _{1}-\Delta \sigma _{3})]$이용.

$\Delta \sigma _{1}=1.8\times 5=9.0t/m^{2}$

$\Delta \sigma _{3}=K_{0}\Delta \sigma _{1}=5.4t/m^{2}$

전부 대입하면

$\Delta u=7.92t/m^{2}$

횡방향 구속하의 축하중의 경우

$\Delta u=C\Delta \sigma _{1}$

C : 포화도에 따른 계수. 건조 시 0, 포화 시 1

등방압밀하중의 경우와 마찬가지로 횡방향 구속 하의 축하중 재하 시에도 응력 증가량은 모두 과잉간극수압 상승을 유발한다.