다양한 적분

2002 서울대 신입생 대상 수학 성취도 평가

문제

극한값 $\lim _{s\to \infty }{\int _{0}^{s}{\frac {2x}{(x+1)(x^{2}+1)}}dx}$를 구하여라.

풀이

${\frac {2x}{(x+1)(x^{2}+1)}}$를 부분분수로 나누면 다음과 같다.

${\frac {2x}{(x+1)(x^{2}+1)}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+1}}$ ($A,B,C$는 상수)

여기서, 두 식이 항상 같아야 하므로, 계수를 비교하여 다음과 같이 $A=-1,B=1,C=1$임을 구할 수 있다.

따라서, $\lim _{s\to \infty }{\int _{0}^{s}{\frac {2x}{(x+1)(x^{2}+1)}}dx}=\lim _{s\to \infty }{\int _{0}^{s}{\left({\frac {-1}{x+1}}+{\frac {x}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{x^{2}+1}}\right)}dx}$이다.

각 항에 대한 극한값은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\lim _{s\to \infty }{\left(\int _{0}^{s}{\frac {-1}{x+1}}dx+\int _{0}^{s}{\frac {x}{x^{2}+1}}dx\right)}=\lim _{s\to \infty }{\left[\ln {\left|{\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x+1}}\right|}\right]_{0}^{s}}=\lim _{s\to \infty }{\ln {\left|{\frac {\sqrt {s^{2}+1}}{s+1}}\right|}}=0\quad (\because \ln {1}=0)$

$\lim _{s\to \infty }{\int _{0}^{s}{\frac {1}{x^{2}+1}}dx}$은 다음과 같이 계산한다.

정적분 $\int _{0}^{s}{\frac {1}{x^{2}+1}}dx$에서 $x=\tan {\theta }$로 치환하자. $\left(-{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}\right)$

양변을 미분하면 $dx=\sec ^{2}{\theta }d\theta$이고, $\tan ^{2}{\theta }+1=\sec ^{2}{\theta }$이므로

$\lim _{s\to \infty }{\int _{0}^{s}{\frac {1}{x^{2}+1}}dx}=\lim _{s\to \infty }{\int _{0}^{\alpha }d\theta }=\lim _{s\to \infty }{\alpha }\quad (s=\tan {\alpha })$

여기서 $s\to \infty$일 때, $\alpha \to {\tfrac {\pi }{2}}$로 수렴하므로 $\lim _{s\to \infty }{\int _{0}^{s}{\frac {1}{x^{2}+1}}dx}={\frac {\pi }{2}}$

$\therefore \lim _{s\to \infty }{\int _{0}^{s}{\frac {2x}{(x+1)(x^{2}+1)}}dx}={\frac {\pi }{2}}$

2011 서울대 신입생 대상 수학 성취도 평가

문제

실수 전체에서 미분가능한 단조증가함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음 조건을 만족한다. 아래 적분값을 구하시오.

1. $f(0)=2,f(1)=3$
2. 도함수 $f'(x)$는 연속이다.
3. 모든 $x\in [0,1]$에 대하여 $\{f(x)\}^{2}-\{g(x)\}^{2}=1$이다.

$$\int _{0}^{1}{{\frac {f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^{2}g(x)}}dx}$$

풀이

주어진 정적분에서 피적분 함수는 다음과 같이 해석된다.

${\frac {f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^{2}g(x)}}={\frac {1}{g(x)}}\times \left\{{\frac {g(x)}{f(x)}}\right\}^{\prime }$

부분적분을 통해 다음과 같이 식을 변형할 수 있다.

$\int _{0}^{1}{{\frac {f(x)g'(x)-f'(x)g(x)}{\{f(x)\}^{2}g(x)}}dx}=\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]_{0}^{1}+\int _{0}^{1}{{\frac {g'(x)g(x)}{f(x)\{g(x)\}^{2}}}dx}$

[조건 1]에 의해 $\left[{\frac {1}{f(x)}}\right]_{0}^{1}={1 \over 3}-{1 \over 2}=-{1 \over 6}$이다.

[조건 3]에 따르면 적분 구간내 모든 $x$에 대하여 $\{f(x)\}^{2}-\{g(x)\}^{2}=1$을 만족한다. 이때, 양변을 $x$에 대하여 미분하면

$2f'(x)f(x)-2g'(x)g(x)=0$이므로 $f'(x)f(x)=g'(x)g(x)$이다.

한편, $\{f(x)\}^{2}-\{g(x)\}^{2}=1$을 $g(x)$에 대하여 정리하면 $\{g(x)\}^{2}=\{f(x)\}^{2}-1$이다.

정적분 $\int _{0}^{1}{{\frac {g'(x)g(x)}{f(x)\{g(x)\}^{2}}}dx}$를 함수 $f$에 대하여 정리하면 다음과 같다.

$\int _{0}^{1}{{\frac {g'(x)g(x)}{f(x)\{g(x)\}^{2}}}dx}=\int _{0}^{1}{{\frac {f'(x)f(x)}{f(x)\{g(x)\}^{2}}}dx}=\int _{0}^{1}{{\frac {f'(x)}{\{f(x)\}^{2}-1}}dx}$

정적분 $\int _{0}^{1}{{\frac {f'(x)}{\{f(x)\}^{2}-1}}dx}$의 피적분 함수를 부분분수로 분해하여 적분하면 다음과 같다.

$\int _{0}^{1}{{\frac {f'(x)}{\{f(x)\}^{2}-1}}dx}=\int _{0}^{1}{{\frac {f'(x)}{\{f(x)-1\}\{f(x)+1\}}}dx}$

위 적분값을 구하는 과정은 다음과 같다.

$\int _{0}^{1}{{\frac {f'(x)}{\{f(x)-1\}\{f(x)+1\}}}dx}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{{\frac {f'(x)}{f(x)-1}}-{\frac {f'(x)}{f(x)+1}}dx}={\frac {1}{2}}\left[\ln {\left|{\frac {f(x)-1}{f(x)+1}}\right|}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {3}{2}}$

따라서 구하는 적분값은 $-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{2}}\ln {\frac {3}{2}}$이다.